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320 INTRODUZIONE AD UNA TEORIA GEOMETRICA DELLE CURVE PIANE.



Ossia, fra essi, sei soli sono essenzialmente diversi tali sono i seguenti:


1)
(abcd), \, (acdb), \, (adbc),

\, (abdc), \, (acbd), \, (adcb).


Si ha poi:

\left(\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db}\right) \left(\frac{ad}{db}:\frac{ac}{cb} \right),


ossia:

(abcd) (abdc)=1,


ed analogamente:

(acdb) (acbd) =1

(adbc) (adcb) =1,


ossia i sei rapporti anarmonici 1) sono a due a due reciproci. Chiamati fondamentali i tre rapporti

(abcd), \, (acdb), \, (adbc),


gli altri tre sono i valori reciproci de’ precedenti.

Fra quattro punti a,\, b,\, c,\, d in linea retta ha luogo, com’è noto, la relazione:

bc.ad + ca.bd + ab.cd =0,


dalla quale si ricava:

\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db} + \frac{ab}{bc}:\frac{cd}{ad} =-1


ossia:

(abcd) + (acbd) =1,


e così pure:

(acbd) + (adcb) =1,

(adbc) + (abdc) =1 ,


cioè i sei rapporti anarmonici 1), presi a due a due, danno una somma eguale all'unità (rapporti anarmonici complementari).

Dalle precedenti relazioni segue che dat uno de’ sei rapporti anarmonici (1), gli altri cinque sono determinati. Infatti, posto (acbd) = \lambda , il rapporto reciproco è (abdc) = \frac{1}{\lambda}. I rapporti complementari di questi due sono (acbd) = 1-\lambda, (adbc) = \frac{\lambda -1}{\lambda}. Ed i rapporti reciproci degli ultimi due sono (acbd) = \frac{1}{1-\lambda}, (adcb) = \frac{\lambda}{\lambda -1}.