Pagina:Introduzione (Cremona).djvu/9

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2. Congiungansi i dati punti  a, \, b, \, c,\,  d ad un arbitrario punto o situato fuori della retta ab (fig. l.a), cioè formisi un fascio o(a, b, c, d) di quattro rette che passino rispettivamente per  a, \, b, \, c,\,  d e tutte concorrano nel centro o. I triangoli aoc,\, cob danno:

\frac{ac}{cb}:\frac{ao}{bo}
= \frac{\sin aoc}{\sin cob}.


Fig. 1.

Similmente dai triangoli aod, dob si ricava:

\frac{ad}{db}:\frac{ao}{bo}
= \frac{\sin aod}{\sin dob},


epperò:

\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db}
= \frac{\sin aoc}{\sin cob} : \frac{\sin aod}{\sin dob};


ovvero, indicando con A, \, B, \, C, \, D le quattro direzioni o(a, b, c, d) e con AC, \, CB, \dots gli angoli da esse compresi:

\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db}
= \frac{\sin AC}{\sin CB} : \frac{\sin AD}{\sin DB},


eguaglianza che scriveremo simbolicamente così:

(abcd)=\sin(ABCD).


All'espressione del secondo membro di quest' equazione si dà il nome di rapporto anarmonico delle quattro rette A, \, B, \, C, \, D. Dunque: il rapporto anarmonico di quattro rette A, \, B, \, C, \, D concorrenti in un centro o è eguale al rapporto anarmonico del quattro punti a, \, b,\,  c, \, d in cui esse sono incontrate da una trasversale. Per conseguenza, se le quattro rette A, \, B, \, C, \, D sono segate da un'altra trasversale in a', \, b',\,  c', \, d' il rapporto anarmonico di questi nuovi punti sarà eguale a quello de' primi a, \, b,\,  c, \, d. E così pure se i punti a, \, b,\,  c, \, d vengono uniti ad un altro centro o' mediante quattro rette A', \, B', \, C', \, D', il rapporto anarmonico di queste sarà eguale a quello delle quattro A, \, B, \, C, \, D.

3. Dati quattro punti a, \, b,\,  c, \, d in linea retta e tre altri punti a', \, b',\,  c' in un'altra