Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/337

Da Wikisource.

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 323

, , sono in linea retta. Questa proprietà offre una semplice regola per costruire il punto , quando siano dati .

Ed in modo somigliante si risolve l’analogo problema rispetto a due fasci di quattro rette.

4. Quattro punti in linea retta diconsi armonici quando sia:

,


epperò anche:


I punti e così pure diconsi coniugati fra loro1.

Se il punto si allontana a distanza infinita, il rapporto ha per limite ; quindi dall’equazione si ha , ossia è il punto di mezzo del segmento .

La relazione armonica , ossia


mostra che uno de’ punti , per esempio , è situato fra e , mentre l’altro punto è fuori del segmento finito . Laonde, se coincide con , anche coincide con essi. E dalla stessa relazione segue che, se coincide con , anche coincide con .

La relazione armonica individua uno de’ quattro punti, quando sian dati gli altri tre. Ma se questi sono coincidenti, il quarto riesce indeterminato.

Analogamente: quattro rette , concorrenti in un punto, diconsi armoniche quando si abbia:

,


cioè quando esse siano incontrate da una trasversale qualunque in quattro punti armonici.

5. Sia dato (fig. 4.a) un quadrilatero completo, ossia il sistema di quattro rette segan- Fig.ª 4.ªFig.ª 4.ªFig.ª 4.ª


  1. Il punto dicesi coniugato armonico di rispetto ai due , ecc.