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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 325


Art. II.

Projettività delle punteggiate e delle stelle.

7. Chiameremo punteggiata la serie de’ punti situati in una stessa retta, e fascio di rette o stella41 la serie delle rette (situate in un piano) passanti per uno stesso punto (centro della stella)1. Le punteggiate e le stelle si designeranno col nome comune di forme geometriche. Per elementi di una forma geometrica intendansi i punti o le rette costituenti la punteggiata o la stella che si considera.

Due forme geometriche si diranno proiettive quando fra i loro elementi esista tale relazione, che a ciascun elemento della prima corrisponda un solo e determinato elemento della seconda ed a ciascun elemento di questa corrisponda un solo e determinato elemento della prima 2.42

Per esempio: se una stella vien segata da una trasversale arbitraria, i punti d’intersezione formano una punteggiata projettiva alla stella.

Dalla precedente definizione segue evidentemente che due forme projettive ad una terza sono proiettive fra loro.

8. Consideriamo due rette punteggiate. Se è un punto fisso della prima retta, un punto qualunque della medesima sarà individuato dal segmento ; ed analogamente, un punto qualunque della seconda retta sarà individuato dal segmento , ove sia un punto fisso della stessa retta. Se le due punteggiate sono projettive e se sono punti corrispondenti, fra i segmenti avrà luogo una relazione, la quale, in virtù della definizione della projettività, non può essere che della forma seguente:

1)
,


ove sono coefficienti costanti. Quest’equazione può essere semplificata, determinando convenientemente le origini . Sia quel punto della prima punteggiata, il cui corrispondente è all’infinito nella seconda retta: ad dovrà corrispondere , quindi . Così se supponiamo che sia quel punto della seconda punteggiata, a cui corrisponde il punto all’infinito della prima, sarà . Perciò l’equa-


  1. Bellavitis, Geometria descrittiva, Padova 1851, p. 75.
  2. Chasles, Principe de correspondance entre deux objets variables etc. (Comptes rendus de l’Acad. de France, 24 décembre 1855). — Battaglini, Sulla dipendenza scambievole delle figure (Memorie della R. Accademia delle scienze, vol. 2, Napoli 1857, p. XXI e p. 188).