Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/371

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

357

incontrata dalle tangenti che passano per ${\rm {C}}$. Quindi

${\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}.{\frac {c'\mathrm {B} }{c'\mathrm {A} }}\dots =(-1)^{m}{\frac {\pi }{\alpha }}$.

I tre risultati così ottenuti danno:

3')	${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}.{\frac {a'\mathrm {B} }{a'\mathrm {C} }}\dots \times {\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}.{\frac {b'\mathrm {C} }{b'\mathrm {A} }}\dots \times {\frac {c\mathrm {A} }{c\mathrm {B} }}.{\frac {c'\mathrm {A} }{c'\mathrm {B} }}\dots =(-1)^{m}$.

Si ha dunque il teorema¹:

Se dai vertici di un triangolo ${\rm {ABC}}$ si conducono le tangenti ad una curva della classe $m$, le quali incontrino i lati opposti ne’ punti $aa'\dots ,bb'\dots ,cc'\dots$, fra i segmenti determinati da questi punti sui lati si ha la relazione 3').

Per $m=1$ si ricade nel teorema di Ceva. Per $m=2$ si ha una proprietà relativa a sei tangenti di una curva di seconda classe; e se ne deduce il teorema che, se una tal curva è circoscritta ad un triangolo, le tangenti nei vertici incontrano i lati opposti in tre punti situati sopra una stessa retta. Ecc. ecc.

41. Si rappresentino con ${\rm {U=0}}$, ${\rm {U'=0}}$ due equazioni analoghe alla 2), relative a due curve d’ordine $n$. Indicando con $\lambda$ una quantità arbitraria, l’equazione ${\rm {U+\lambda U'=0}}$ rappresenterà evidentemente un’altra curva d’ordine $n$. I valori delle coordinate ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$, che annullano ${\rm {U}}$ ed ${\rm {U'}}$, annullano anche ${\rm {U+\lambda U'}}$; dunque le $n^{2}$ intersezioni delle due curve rappresentate da ${\rm {U=0}}$, ${\rm {U'=0}}$ appartengono tutte alla curva rappresentata da ${\rm {U+\lambda U'=0}}$². Siccome poi quest’ultima equazione rappresenta una curva dell’ordine $n$ per ciascuno degli infiniti valori che si possono attribuire a $\lambda$, così abbiamo il teorema:

Per le $n^{2}$ intersezioni di due curve dell’ordine $n$ passano infinite altre curve dello stesso ordine.

Altrove (34) si è dimostrato che una curva d’ordine $n$ è determinata da ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ condizioni. Dal teorema precedente segue che per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ punti passa, in generale, una sola curva d’ordine $n$: poichè, se per quei punti passassero due curve di quest’ordine, in virtù di quel teorema, se ne potrebbero tracciare infinite altre.

---

1. Chasles, Géométrie supérieure, Paris 1852, p. 361.
2. Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, Paris 1818, p. 28.