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366 introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.


51. Segando, come dianzi, i due fasci dati con una trasversale , si ottengono due involuzioni projettive, e gli punti comuni ad esse sono le intersezioni di colla curva generata dalle intersezioni delle curve corrispondenti ne’ due fasci. Supponiamo ora che nella retta vi sia un tal punto , nel quale coincidano intersezioni di tutte le curve del primo fascio ed intersezioni di tutte quelle del secondo con : ma una certa curva del primo fascio abbia punti comuni con riuniti in , e questo punto rappresenti anche intersezioni di colla curva del secondo fascio, corrispondente a . In virtù di proposizioni già esposte (24, c, d), in coincideranno od (secondo che od 57) punti comuni alla retta ed alla curva .

Questo teorema generale dà luogo a numerosi corollari; qui ci limitiamo ad esporre quelli, di cui avremo bisogno in seguito.

(a) Sia un punto-base del primo fascio; la curva del secondo, che passa per ; la corrispondente curva del primo fascio, ed la tangente a in . Applicando a questa retta il teorema generale, col porre , , , , troviamo che essa è anche la tangente a in .

(b) Le curve del primo fascio passino per ed ivi abbiano una tangente comune; allora fra esse ve n’ha una , che ha un punto doppio in (47). Se la corrispondente curva del secondo fascio passa per , il teorema generale applicato ad una retta qualunque condotta per (, , , ) mostra ch’essa incontra in due punti riuniti in ; cioè questo punto è doppio per .58

(c) Nella ipotesi (b), se ha in un punto multiplo e si applica il teorema generale ad una delle due tangenti in a (, , , ), troviamo che questa retta ha tre punti comuni con , riuniti in ; dunque questa curva ha in comune con non solo il punto doppio , ma anche le relative tangenti.

(d) Fatta ancora l’ipotesi (b), se , tangente comune alle curve del primo fascio in , è anche una delle tangenti ai due rami di (, , , ), essa sarà tangente ad uno de’ due rami di .

(e) E se, oltre a ciò, la seconda tangente di in tocca ivi anche , applicando a questa retta il teorema generale (, , , ), troviamo ch’essa è la tangente del secondo ramo di . Donde segue che, se ha in le due tangenti coincidenti colla retta , tangente comune alle curve del primo fascio, e se questa retta tocca nel medesimo punto anche , la curva avrà in una cuspide colla tangente .

(f) Due curve corrispondenti , passino uno stesso numero di volte per un punto . Se è una retta condotta ad arbitrio per , si ricava dal teorema generale (, ) che in coincidono intersezioni di con , cioè è un punto multiplo secondo per la curva .