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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

61. Da un punto qualunque di una curva di seconda classe non può condursi alcuna retta a toccare altrove la curva (30), cioè una retta che tocchi la curva in un punto non può incontrarla in alcun altro punto. Dunque una curva di seconda classe è anche di second’ordine.

Analogamente si dimostra che una curva di second’ordine è anche di seconda classe. V’ha dunque identità fra le curve di second’ordine e quelle di seconda classe: a patto però che si considerino curve semplici. Perchè il sistema di due rette è bensì un luogo di second’ordine, ma non già una linea di seconda classe; e così pure, il sistema di due punti è un inviluppo di seconda classe, senz’essere un luogo di second’ordine.

Le curve di second’ordine e seconda classe si designano ordinariamente col nome di coniche.

62. Dal teorema (59) risulta che, se $abcd$ sono quattro punti dati di una conica ed $m$ un punto variabile della medesima, il rapporto anarmonico de’ quattro raggi $m(a,b,c,d)$ è costante, epperò eguale a quello delle rette $a(a,b,c,d)$, ove $aa$ esprime la retta che tocca la conica in $a$.

Reciprocamente: dati quattro punti $abcd$, il luogo di un punto $m$, tale che il rapporto anarmonico delle rette $m(a,b,c,d)$ abbia un valore dato $\lambda$, è una conica passante per $abcd$, la quale si costruisce assai facilmente. Infatti: se s’indica con $aa$ una retta condotta per $a$ e tale che il rapporto anarmonico delle quattro rette $a(a,b,c,d)$ sia eguale a $\lambda$, la conica richiesta sarà individuata dal dover passare per $abcd$ e toccare in $a$ la retta $aa$.

Il luogo geometrico qui considerato conduce alla soluzione del seguente problema:

Date cinque rette $o'(a',b',c',d',e')$ concorrenti in un punto $o'$ e dati cinque punti $abcde$, trovare un punto $o$ tale che il fascio di cinque rette $o(a,b,c,d,e)$ sia projettivo al fascio analogo $o'(a',b',c',d',e')$.

S’imagini la conica luogo di un punto $m$ tale che i due fasci $m(a,b,c,d)$, $o'(a',b',c',d')$ abbiano lo stesso rapporto anarmonico. E similmente si imagini la conica luogo di un punto $n$ tale che i due fasci $n(a,b,c,e)$, $o'(a',b',c',e')$ abbiano lo stesso rapporto anarmonico. La prima conica passa pei punti $abcd$; la seconda per $abce$; entrambe poi sono pienamente individuate.

Ora, siccome il richiesto punto $o$ dee possedere sì la proprietà del punto $m$ che quella del punto $n$, così esso sarà situato in entrambe le coniche. Queste hanno tre punti comuni $abc$ dati a priori; dunque la quarta loro intersezione sarà il punto domandato. Questo punto si costruisce senza previamente descrivere le due curve; come si mostrerà qui appresso.

63. Le coniche passanti per gli stessi quattro punti $abco$ formano un fascio di second’ordine. Fra quelle coniche ve ne sono tre, ciascuna delle quali è il sistema di