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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Dunque il punto $o$, ove si toccano le curve del dato fascio, conta per due fra i punti doppi del fascio medesimo.

(b) Suppongasi ora che nel dato fascio si trovi una curva ${\rm {C_{m}}}$ dotata di una cuspide $o$. Sia $o'$ un punto preso nella tangente cuspidale, ed $o''$ un altro punto qualsivoglia. Le prime polari di $o$ rispetto alle curve date formano un fascio, nel quale v’ha una curva (la polare relativa a ${\rm {C_{m}}}$) avente una cuspide in $o$ colla tangente $oo'$ (72). Alla quale curva corrispondono, nel fascio delle polari di $o'$, una curva passante due volte per $o$ (78, a), e nel fascio delle polari di $o''$, una curva passante per $o$ ed ivi toccante $oo'$ (74, c). Perciò il primo ed il secondo fascio generano una curva d’ordine $2(m-1)$, per la quale $o$ è un punto doppio (51, f); mentre il primo ed il terzo fascio danno nascimento ad una curva di quello stesso ordine, passante semplicemente per $o$ ed ivi toccante la retta $oo'$ (51, g). Queste due curve hanno adunque due punti comuni riuniti in $o$; talchè, astraendo dagli $(m-1)^{2}$ punti-base del primo fascio, le rimanenti intersezioni saranno $3(m-1)^{2}-2$.

Ossia: se in un fascio v’ha una curva dotata di una cuspide, questa conta per due fra i punti doppi del fascio.

(c) Da ultimo supponiamo che tutte le curve del fascio proposto passino per $o$, cuspide di ${\rm {C_{m}}}$. Sia ancora $o'$ un punto della tangente cuspidale di ${\rm {C_{m}}}$, e si prenda $o''$ nella retta che tocca in $o$ tutte le altre curve del fascio. Le polari di $o$ passano per questo punto, toccando ivi $oo''$ ed una fra esse, quella relativa a ${\rm {C_{m}}}$, ha una cuspide in $o$ colla tangente $oo'$ (71, 72). Le polari di $o''$ passano anch’esse per $o$ (70); ma una sola, quella che si riferisce a ${\rm {C_{m}}}$, tocca ivi $oo'$ (74, c). E fra le polari di $o'$, soltanto quella che è relativa a ${\rm {C_{m}}}$ passa per $o$, ed invero vi passa due volte (78, a). Donde segue che le polari di $o$ ed $o''$ generano una curva d’ordine $2(m-1)$, per la quale $o$ è un punto doppio colle tangenti $oo',\,oo''$ (52, a); e le polari di $o$ ed $o'$ generano un’altra curva dello stesso ordine, cuspidata in $o$ colla tangente $oo'$ (51, c). Pertanto le due curve così ottenute hanno in $o$ un punto doppio ed una tangente ($oo'$) comune, ossia hanno in $o$ cinque intersezioni riunite (32). Messi da parte il punto $o$, nel quale tutte le polari del primo fascio si toccano, e gli altri $(m-1)^{2}-2$ punti-base del fascio medesimo, il numero delle rimanenti intersezioni delle due curve d’ordine $2(m-1)$ sarà $3(m-1)^{2}-3$.

Dunque il punto $o$ comune a tutte le curve del fascio proposto, una delle quali è ivi cuspidata, conta per tre fra i punti doppi del fascio medesimo. —⁷⁴

(d) Applicando il teorema generale (dimostrato al principio del presente n.°) al fascio delle prime polari de’ punti di una data retta (77), rispetto ad una curva ${\rm {C_{n}}}$ d’ordine $n$, si ha:

In una retta qualunque vi sono $3(n-2)^{2}$ punti, ciascun de’ quali ha per prima polare, rispetto ad una data linea dell’ordine $n$, una curva dotata di un punto doppio.