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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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curva del secondo, alla quale condotta la tangente in $a$, vi è una certa curva del primo fascio, che tocca questa retta nel punto medesimo (46). Osservisi poi che una curva del primo fascio è toccata dalle curve del secondo in $m(m+2m_{1}-3)$ punti (87); laonde quella curva del primo fascio, oltre agli $m^{2}$ punti-base, contiene $m(m+2m_{1}-3)$ punti del luogo richiesto, cioè in tutto $m(2m+2m_{1}-3)$ punti. Dunque il luogo di cui si tratta è dell’ordine $2(m+m_{1})-3$; esso passa non solo pei punti-base dei due fasci, ma anche pei loro $3(m-1)^{2}+3(m_{1}-1)^{2}$ punti doppi (88), perchè ciascuno di questi equivale a due intersezioni di una curva dell’un fascio con una dell’altro. Abbiamo così il teorema:

Dati due fasci di curve, le une d’ordine $m$, le altre d’ordine $m_{1}$, i punti di contatto delle une colle altre sono in una linea dell’ordine $2(m+m_{1})-3$, che passa pei punti-base e pei punti doppi dei due fasci.

(a) Suppongasi che le curve dei due fasci siano prime polari relative ad una data curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ d’ordine $n$, epperò pongasi $m=m_{1}=n-1$. I punti-base de’ due fasci sono i poli di due rette (77), talchè giacciono tutti insieme nella prima polare del punto comune a queste rette medesime (69, a): vale a dire, i due fasci hanno, in questo caso, una curva comune. Tale curva comune fa evidentemente parte del luogo dianzi determinato, onde, astraendo da essa, rimane una curva dell’ordine $4(n-1)-3-(n-1)=3(n-2)$, passante pei punti doppi de’ fasci dati, qual luogo de’ punti di contatto fra le curve dell’uno e le curve dell’altro fascio. Questa curva dell’ordine $3(n-2)$ non cambia, se altri fasci di prime polari sostituiscansi ai due dati; infatti, siccome tutte le prime polari passanti per un dato punto hanno altri $(n-1)^{2}-1$ punti comuni e formano un fascio (77, a), così, se due prime polari si toccano in quel punto, anche tutte le altre hanno ivi la stessa tangente.

Di qui s’inferisce che la curva luogo de’ punti di contatto fra due prime polari contiene i punti doppi di tutti i fasci di prime polari, e per conseguenza, avuto riguardo al teorema (78), è anche il luogo dei poli di quelle coniche polari che si risolvono in due rette. Cioè:

Il luogo di un punto nel quale si tocchino due (epperò infinite) prime polari relative ad una data curva d’ordine $n$, è una linea dell’ordine $3(n-2)$, la quale può anche definirsi come luogo dei punti doppi delle prime polari, e come luogo di un polo la cui conica polare sia una coppia di rette.

A questa linea si dà il nome di Hessiana della data curva fondamentale, perchè essa offre l’interpretazione geometrica di quel covariante che Sylvester chiamò Hessiano (dal nome del sig. Hesse), cioè del determinante formato colle derivate seconde parziali di una data forma omogenea a tre variabili¹.

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1. Sylvester, On a theory of the syzygetic relations of two rational integral functions (Philosophical Transactions, vol. 143, part 3, London 1853, p. 545).