Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/417

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

403

Art. XVI.

Formole di Plücker.

99. Data una curva qualsivoglia ${\rm {C_{n}}}$ (fondamentale), indichiamo con

$n$ l’ordine della medesima,

$m$ la classe,

$\delta$ il numero de’ punti doppi,

$\chi$ il numero de’ punti stazionari o cuspidi,

$\tau$ il numero delle tangenti doppie,

$\iota$ il numero delle tangenti stazionarie, ossia de’ flessi.

Siccome $m$ è il numero delle tangenti che da un punto arbitrario si possono condurre alla curva data, così, in virtù del teorema (74, c) o (87, d), si ha:

1)	$m=n(n-1)-2\delta -3\chi ,$

formola che somministra la classe di una curva, quando se ne conosca l’ordine e si sappia di quanti punti doppi e cuspidi è fornita.

Pel principio di dualità, un’equazione della stessa forma dovrà dare l’ordine di una curva, quando se ne conosca la classe, il numero delle tangenti doppie e quello delle stazionarie (82); dunque:

2)	$n=m(m-1)-2\tau -3\iota$.

100. Siccome ogni punto della curva fondamentale, il quale abbia per conica polare il sistema di due rette, è un flesso o un punto multiplo (80), così la curva Hessiana, la quale è il luogo de’ punti le cui coniche polari si risolvono in coppie di rette (90, a), sega la linea data nei flessi e ne’ punti multipli di questa. Onde, essendo l’Hessiana dell’ordine $3(n-2)$, se la curva data non ha punti multipli, il numero de’ suoi flessi è $3n(n-2)$¹.

Supponiamo ora che ${\rm {C_{n}}}$ abbia un punto doppio $d$; nel qual caso tutte le prime polari passano per $d$. Allora l’Hessiana della rete formata da queste prime polari, che

---

1. Plücker, System der analytischen Geometrie, Berlin 1835, p. 264. — Hesse, Ueber die Wendepuncte der Curven dritter Ordnung (Giornale di Crelle, t. 28, Berlino 1844, p. 104).