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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

e come inviluppi. Egli è appunto in questa doppia definizione che sembra risiedere il segreto della grande fecondità della teoria delle curve polari.

(h) La polare $(r)$^ma di una curva ${\rm {C}}$ tocchi un’altra curva ${\rm {C'}}$ nel punto $o$. In $o$ quella polare toccherà la polare $(r)$^ma di un punto $o'$ di ${\rm {C}}$; e viceversa (b) in $o'$ la curva ${\rm {C}}$ sarà toccata dalla polare $(n-r)$^ma di $o$. Ma la polare $(r)$^ma di $o'$ tocca in $o$ anche ${\rm {C'}}$; dunque la polare $(n-r)$^ma di $o$ toccherà in $o'$ la polare $(n-r)$^ma di ${\rm {C'}}$; ossia:

Se la polare $(r)$^ma di una curva ${\rm {C}}$ tocca un’altra curva ${\rm {C'}}$, reciprocamente la polare $(n-r)$^ma di ${\rm {C'}}$ tocca ${\rm {C}}$.

(k) Una retta ${\rm {R}}$ sia l’$(r-1)$^ma polare di un punto $o$ rispetto all’$(n-r)$^ma polare di un altro punto $o'$ ovvero, ciò che è la medesima cosa (69, c), la polare $(n-r)$^ma di $o'$ rispetto alla polare $(r-1)$^ma di $o$. Se ${\rm {R}}$ varia ed inviluppa una curva qualunque ${\rm {C}}$, restando fisso il punto $o'$, il luogo del punto $o$ sarà (d) la prima polare di ${\rm {C}}$ rispetto all’$(n-r)$^ma polare di $o'$. Se invece resta fisso il punto $o$, mentre ${\rm {R}}$ inviluppa la curva ${\rm {C}}$, il luogo di $o'$ sarà la prima polare di ${\rm {C}}$ rispetto all’$(r-1)$^ma polare di $o$. Dunque:

Se la prima polare di una curva ${\rm {C}}$ rispetto all’$(r-1)$^ma polare di un punto $o$ passa per un altro punto $o'$, la prima polare di ${\rm {C}}$ rispetto all’$(n-r)$^ma polare di $o'$ passerà per $o$; e viceversa.

105. L’$(n-1)$^ma polare di una curva ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m$ è (81) una linea ${\rm {K}}$ della classe $m(n-1)$. Reciprocamente, la prima polare di ${\rm {K}}$ sarà (104, d) una linea dell’ordine $m(n-1)^{2}$. Questa linea comprende in sè la data curva ${\rm {C_{m}}}$, perchè ${\rm {K}}$ è non solo l’inviluppo delle rette polari dei punti di ${\rm {C_{m}}}$, ma anche il luogo de’ poli delle prime polari tangenti a ${\rm {C_{m}}}$ (103, a). Dunque, allorchè un punto $o$ percorre la curva ${\rm {C_{m}}}$, gli altri $(n-1)^{2}-1$ poli della retta polare di $o$ descriveranno una linea dell’ordine $m(n-1)^{2}-m=mn(n-2)$.

A questo risultato si arriva anche cercando la soluzione del problema: quando un punto $o$ percorre una data linea, quale è il luogo degli altri poli della retta polare di $o$?

Supposto dapprima che la data linea sia una retta ${\rm {R}}$, cerchiamo in quanti punti essa seghi il luogo richiesto. Siccome (103, e) vi sono ${\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)$ rette, ciascuna delle quali ha due poli in ${\rm {R}}$, così gli $(n-2)(n-3)$ poli di tali rette sono altrettanti punti del luogo. Inoltre ricordiamo (90, b) che in ogni punto dell’Hessiana coincidono due poli d’una medesima retta, talchè le $3(n-2)$ intersezioni dell’Hessiana con ${\rm {R}}$ sono comuni al luogo di cui si tratta. Questo luogo ha dunque $(n-2)(n-3)+3(n-2)$ punti comuni con ${\rm {R}}$, vale a dire, esso è dell’ordine $n(n-2)$.

Se invece è data una linea ${\rm {C_{m}}}$ dell’ordine $m$, assunta un’arbitraria retta ${\rm {R}}$, cerchiamo quante volte avvenga che una stessa retta abbia un polo in ${\rm {R}}$ ed un altro in ${\rm {C_{m}}}$. I poli congiunti ai punti di ${\rm {R}}$ sono, come or si è dimostrato, in una linea dell’ordine