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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Ora siano $p$, $o$ due punti corrispondenti dell’Hessiana e della Steineriana, tali che la retta $po$ passi per $i$. Per esprimere che, rispetto alla conica polare di $p$, le rette $pi$, $pj$ sono coniugate, basta dire che le rette polari di $p$ e $j$ (relative alla conica) concorrono in un punto di $pi$. Ma nel caso attuale, la conica polare di $p$ è un pajo di rette incrociatisi in $o$ (90, a), talchè per questo punto passano le polari di $p$ e $j$ (relative alla conica medesima). E siccome anche $pi$ contiene, per ipotesi, il punto $o$, così $p$ appartiene ad ${\rm {L^{ij}}}$, ossia questa curva passa pei $3(n-1)(n-2)$ punti dell’Hessiana, le cui indicatrici concorrono in $i$. Analogamente la curva ${\rm {L^{ij}}}$ passa anche pei $3(n-1)(n-2)$ punti dell’Hessiana, le indicatrici de’ quali partono da $j$. Dunque:

Dati due punti $i$, $j$, il luogo di un punto $p$, tale che le rette $pi$, $pj$ siano coniugate rispetto alla conica polare di $p$, è una linea dell’ordine $2(n-1)$, che passa: 1.º pei punti $i$, $j$; 2.º pei punti in cui la curva fondamentale è toccata dalle tangenti condotte per $i$ o per $j$; 3.º pei punti in cui la prima polare di $i$ (o di $j$) è toccata da rette concorrenti in $j$ (o in $i$); 4.º pei punti dell’Hessiana, le indicatrici de’ quali convergono ad $i$ o a $j$.

(a) In altre parole, la linea ${\rm {L^{ij}}}$ sega la curva fondamentale e l’Hessiana ne’ punti ove queste sono toccate dalle due linee ${\rm {L^{ii}}}$, ${\rm {L^{jj}}}$, che dipendono separatamente dai punti $i$, $j$ (113).

(b) Se il punto $i$ è dato, mentre $j$ varii descrivendo una retta ${\rm {R}}$, la linea ${\rm {L^{ij}}}$ genera un fascio. Infatti, essa passa, qualunque sia $j$, per $4(n-1)^{2}$ punti fissi, i quali sono: 1.º il punto $i$; 2.º gli $n(n-1)$ punti in cui ${\rm {C_{n}}}$ è toccata dalle tangenti che passano per $i$; 3.º i $3(n-1)(n-2)$ punti dell’Hessiana, le cui indicatrici concorrono in $i$; 4.º i $2n-3$ punti nei quali (oltre a $j$ che è variabile) ${\rm {R}}$ sega ${\rm {L^{ji}}}$; questi ultimi non variano, perchè sono i punti comuni a due involuzioni proiettive, indipendenti dal punto $j$ (vedi la nota *) a pag. 422).

Questa proprietà si dimostra anche cercando quante curve ${\rm {L^{ij}}}$ passino per un dato punto $q$, quando $i$ sia fisso e $j$ debba trovarsi in una retta ${\rm {R}}$. Siccome le rette $qi$, $qj$ devono essere coniugate rispetto alla conica polare di $q$, così il punto $j$ sarà l’intersezione di ${\rm {R}}$ colla retta che congiunge $q$ al polo di $qi$ relativo a quella conica. Dunque ecc.

Nello stesso modo si dimostra che, se $i$ è fisso, le curve ${\rm {L^{ij}}}$ passanti per uno stesso punto $q$ formano un fascio; cioè per due punti dati $q$, $q'$ passa una sola curva ${\rm {L}}$ relativa al punto fisso $i$; ecc.

117. La precedente ricerca (116) può essere generalizzata, assumendo una curva-inviluppo invece del punto $j$, od anche una seconda curva invece di $i$, ovvero una sola curva in luogo del sistema dei due punti.

Data una curva ${\rm {K_{r}}}$ della classe $r$ e dato un punto $i$, vogliasi determinare il luogo di un punto $p$ tale che la retta $pi$ sia, rispetto alla conica polare di $p$, coniugata ad