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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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si segano fra loro; si ottengono rispettivamente i numeri delle cuspidi, delle tangenti doppie e de’ punti doppi della complessiva curva ${\rm {K}}$ d’ordine $3(n-2)(5n-11)$, $(n-1)$^ma polare dell’Hessiana, in accordo coi risultati generali (103).

119. Sia $oo'$ una retta tangente alla Steineriana; $o$ il punto di contatto; $p$ il corrispondente punto dell’Hessiana. Le prime polari dei punti di $oo'$ formano un fascio di curve, che si toccano fra loro in $p$, avendo per tangente comune $po$. Fra le curve di questo fascio ve n’ha una, la prima polare di $o$, per la quale $p$ è un punto doppio, e ve ne sono altre $3(n-2)^{2}-2$, cioè le prime polari de’ punti in cui $oo'$ sega la Steineriana, le quali hanno un punto doppio altrove.

(a) Se $oo'$ è una tangente doppia della Steineriana; $o$, $o'$ i punti di contatto; $p$, $p'$ i corrispondenti punti dell’Hessiana; allora le prime polari di tutti i punti di $oo'$ si toccheranno fra loro sì in $p$ che in $p'$. Dunque (118, d):

In una rete geometrica di curve d’ordine $n-1$, vi sono ${\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-3n-8)$ fasci, in ciascuno dei quali le curve si toccano fra loro in due punti distinti.

(b) Se nella tangente doppia $oo'$ i punti di contatto si riuniscono in $o$, per modo che essa divenga una tangente stazionaria della Steineriana, anche i punti $p$, $p'$ si confonderanno in un solo, e le prime polari dei punti di $oo'$ avranno fra loro un contatto tripunto in $p$, punto doppio della prima polare del flesso $o$.

Inoltre quelle prime polari toccano in $p$ l’Hessiana, perchè le tangenti stazionarie della Steineriana fanno parte (118, d) del luogo de’ poli delle prime polari tangenti all’Hessiana. Donde segue che, se $o$ è un flesso della Steineriana e $p$ è il punto doppio della prima polare di $o$, la retta $po$ è tangente all’Hessiana in $p$.

Così è anche dimostrato che in una rete geometrica di curve d’ordine $n-1$, v’hanno $3(n-2)(4n-9)$ fasci, in ciascun de’ quali le curve hanno fra loro un contatto tripunto, cioè si osculano in uno stesso punto.

120. Consideriamo una prima polare dotata di due punti doppi $p$, $p'$, e sia $o$ il polo di essa. Condotta per $o$ una retta arbitraria ${\rm {R}}$, le prime polari dei punti di ${\rm {R}}$ formano un fascio, nel quale trovansi $3(n-2)^{2}$ punti doppi (88), cioè i $3(n-2)^{2}$ punti comuni ad ${\rm {R}}$ ed alla Steineriana sono i poli d’altrettante prime polari dotate di un punto doppio. Ma, siccome due punti doppi esistono già nella prima polare di $o$, così quel fascio avrà solamente $3(n-2)^{2}-2$ altre curve dotate di un punto doppio; donde s’inferisce che ${\rm {R}}$ taglia la Steineriana non più che in $3(n-2)^{2}-2$ punti, oltre ad $o$, cioè $o$ è un punto doppio della Steineriana.

Quando ${\rm {R}}$ prenda la posizione di ${\rm {P}}$ retta polare di $p$, le prime polari dei suoi punti passano tutte per $p$, epperò questo punto conta per due fra i $3(n-2)^{2}$ punti doppi del fascio (88, a). I punti $p$, $p'$ equivalendo così a tre punti doppi, il fascio con-