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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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punti, che sono i poli d’altrettante prime polari aventi i punti doppi nelle intersezioni della curva data coll’Hessiana.

Se $m=1$, abbiamo:

Una retta arbitraria ${\rm {R}}$ sega l’Hessiana in $3(n-2)$ punti, che sono doppi per altrettante prime polari; i poli di queste sono i punti di contatto fra la Steineriana e l’$(n-1)$^ma polare di ${\rm {R}}$.

Ed è evidente che:

Se ${\rm {R}}$ è una tangente ordinaria dell’Hessiana, l’$(n-1)$^ma polare di ${\rm {R}}$ avrà colla Steineriana un contatto quadripunto e $3n-8$ contatti bipunti.

Se ${\rm {R}}$ è una tangente stazionaria dell’Hessiana, l’$(n-1)$^ma polare di ${\rm {R}}$ avrà colla Steineriana un contatto sipunto e $3(n-3)$ contatti bipunti.

E se ${\rm {R}}$ è una tangente doppia dell’Hessiana, l’$(n-1)$^ma polare di ${\rm {R}}$ avrà colla Steineriana due contatti quadripunti e $3n-10$ contatti bipunti.

Art. XXI.

Proprietà delle seconde polari.

123. La prima polare di un punto $o$ rispetto alla prima polare di un altro punto $o'$, ossia, ciò che è la medesima cosa (69, c), la prima polare di $o'$ rispetto alla prima polare di $o$, si è da noi chiamata per brevità (116) seconda polare mista de’ punti $oo'$. Avuto riguardo a questa denominazione, la seconda polare del punto $o$, cioè la prima polare di $o$ rispetto alla prima polare di $o$ (69, b) può anche chiamarsi seconda polare pura del punto $o$.

Se la seconda polare mista de’ punti $oo'$ passa per un punto $a$, la retta polare di $o$ relativa alla conica polare di $a$ passa per $o'$ (69, d); dunque (108):

La seconda polare mista di due punti $oo'$ è il luogo di un punto rispetto alla conica polare del quale i punti $oo'$ siano poli coniugati.

Ond’è che, data una retta ${\rm {R}}$, se in essa assumonsi due punti $oo'$ i quali siano coniugati rispetto alla conica polare di un punto $a$, la seconda polare mista di $oo'$ passerà per $a$. Le coppie di punti in ${\rm {R}}$, coniugati rispetto alla conica suddetta, formano un’involuzione i cui punti doppi $ef$ sono le intersezioni della conica colla retta (108). I punti $ef$ sono pertanto i poli di due seconde polari pure passanti per $a$.

Di qui s’inferisce che, affinchè una seconda polare mista, i cui poli $oo'$ giacciano in ${\rm {R}}$, passi per $a$, è necessario e sufficiente che $oo'$ dividano armonicamente il segmento $ef$; vale a dire: se $oo'ef$ sono quattro punti armonici, la seconda polare mista di $oo'$ passa pei poli di tutte le coniche polari contenenti i punti $ef$. Ora, quando una