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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

dell’ordine $4(n-2)$. Questa linea è composta dell’Hessiana e della seconda polare pura del punto $i$ (125, c); e gli $8(n-2)^{2}$ punti, in cui le seconde polari pure di due fra quelle rette toccano l’Hessiana e la seconda polare pura di $i$, giacciono tutti nella seconda polare mista delle medesime due rette.

(a) Si è dimostrato che la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ tocca l’Hessiana in $p$; inoltre anche la seconda polare (pura) di $o$ passa per $p$, giacchè questo punto è doppio per la prima polare di $o$. D’altra parte la seconda polare (pura) di $o$ e la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ (retta passante per $o$) si toccano ovunque s’incontrano (124); dunque:

L’Hessiana, in un suo punto qualunque, è tangente alla seconda polare (pura) del corrispondente punto della Steineriana.

(b) Da ciò segue che la tangente in $p$ all’Hessiana è la coniugata armonica di $po$ rispetto alle due rette che toccano la prima polare di $o$ nel punto doppio $p$ (74, c); e se la prima polare di $o$ ha una cuspide in $p$, la tangente cuspidale tocca ivi anche l’Hessiana.

Analogamente, la tangente in $o$ alla Steineriana è la coniugata armonica di $op$ rispetto alle due rette che formano la conica polare di $p$.

(c) Se si considera una seconda retta ${\rm {R'}}$ passante per $o$, la seconda polare pura di ${\rm {R'}}$ toccherà anch’essa l’Hessiana in $p$. Viceversa: le rette le cui seconde polari pure passano per $p$ sono le tangenti della conica polare di $p$ (104, g); ma questa conica si risolve in due rette passanti per $o$; dunque le rette, le cui seconde polari pure contengono il punto $p$, passano tutte per $o$.

Ossia, l’Hessiana è toccata in $p$ dalla seconda polare pura di $o$ e dalle seconde polari pure e miste di tutte le rette passanti per $o$.

(d) Siccome i contatti dell’Hessiana colla seconda polare (pura) di una retta ${\rm {R}}$ corrispondono alle intersezioni di ${\rm {R}}$ colla Steineriana, così, se ${\rm {R}}$ tocca questa curva in un punto $o$, la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ avrà un contatto quadripunto coll’Hessiana nel corrispondente punto $p$, e la toccherà semplicemente in $3(n-2)^{2}-2$ altri punti.

Le rette tangenti alla conica polare d’un punto $i$ sono le sole (104, g), a cui spettino seconde polari pure passanti per $i$. Ma quella conica ha $6(n-1)(n-2)$ tangenti comuni colla Steineriana; dunque la serie formata dalle seconde polari pure (di rette) aventi un contatto quadripunto coll’Hessiana è dell’indice $6(n-1)(n-2)$.

Se ${\rm {R}}$ è una tangente doppia della Steineriana, la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ avrà coll’Hessiana due contatti quadripunti e $3(n-2)^{2}-4$ contatti bipunti.

E se ${\rm {R}}$ è una tangente stazionaria della Steineriana, la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ avrà coll’Hessiana un contatto sipunto, oltre a $3(n-2)^{2}-3$ contatti bipunti.

128. Quali sono le rette le cui seconde polari (pure) hanno un punto doppio? Siccome la seconda polare (pura) di una retta ${\rm {R}}$ è il luogo dei poli delle coniche polari tangenti ad ${\rm {R}}$, così se quella seconda polare ha un punto doppio, è necessario che vi