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Sezione III.

CURVE DEL TERZ’ORDINE.

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Art. XXII.

L’Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz’ordine.

130. Applichiamo le teorie generali precedentemente esposte al caso che la curva fondamentale sia del terz’ordine, vale a dire una cubica ${\rm {C_{3}}}$, che supporremo priva di punti multipli; ond’essa sarà della sesta classe (70) ed avrà nove flessi (100).

(a) Un punto qualunque è polo di una conica polare e di una retta polare (68).

Per due punti presi ad arbitrio passa una sola conica polare (77, a). Tutte le coniche polari passanti per un punto $o$ hanno altri tre punti $o_{1}o_{2}o_{3}$ comuni, e i loro poli giacciono in una retta, che è la polare di ciascuno di quei quattro punti $oo_{1}o_{2}o_{3}$.

Una retta ha dunque quattro poli; essi sono i vertici del quadrangolo inscritto nelle coniche polari dei punti della retta.

Tutte le rette passanti per uno stesso punto $o$ hanno i loro poli in una conica, la quale è la conica polare del punto $o$ (69, a).

(b) La retta polare di un punto $o'$ rispetto alla conica polare di un altro punto $o$ coincide colla retta polare di $o$ rispetto alla conica polare di $o'$ (69, c). Ond’è che, se da $o$ si conducono le tangenti alla conica polare di $o'$, e da $o'$ le tangenti alla conica polare di $o$, i quattro punti di contatto giacciono in una sola retta: la seconda polare mista de’ punti $oo'$ (123)¹.

(c) Da un punto qualunque $o$ del piano si possono, in generale, condurre sei tan-

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1. {Una retta qualunque è la seconda polare mista dei due suoi punti $o,\,o'$, le cui coniche polari toccano la retta medesima (i punti di contatto sono $o',\,o$). Ciò è una conseguenza della proprietà più generale: la seconda polare mista di due punti $o,\,o'$ è la retta che unisce i poli della retta $oo'$ rispetto alle coniche polari di $o,\,o'$.}