Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/457

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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 443

poli di una qualunque di queste rette rispetto alle coniche polari dei punti dell’altra (125, a, b).

(d) La retta polare del punto comune a due rette tocca le poloconiche pure di queste in due punti, che giacciono nella poloconica mista delle rette medesime (125, c).

137. Se una retta incontra l’Hessiana in tre punti , la poloconica di tocca questa curva ne’ poli coniugati a quelli (122, 127). Donde segue che, se è una tangente ordinaria dell’Hessiana, il cui punto di contatto sia ed il punto di semplice intersezione , la poloconica di avrà coll’Hessiana un contatto quadripunto in (polo coniugato ad ) ed un contatto bipunto in (polo coniugato a ). E se tocca l’Hessiana in un flesso , la poloconica di avrà colla curva medesima un contatto sipunto in (127, d).

(a) I sei punti in cui l’Hessiana è toccata dalle poloconiche pure di due rette giacciono nella poloconica mista delle rette medesime (127). Dunque:

Se due rette incontrano l’Hessiana in sei punti, i poli coniugati a questi giacciono in una stessa conica1.

Se pei tre punti in cui l’Hessiana è toccata da una poloconica si fa passare un’altra conica qualsivoglia, questa taglia l’Hessiana in tre nuovi punti, ne’ quali questa curva è toccata da una seconda poloconica.

Abbiamo veduto (136, b) che, se sono due poli coniugati (fig. 8.ª), ne’ quali l’Hessiana sia toccata da rette concorrenti in , queste rette costituiscono la poloconica (pura) di . Questa poloconica tocca l’Hessiana in . Dunque questi tre punti ed altri tre analoghi giacciono sempre in una stessa conica.

(b) Le quattro rette che da si ponno condurre a toccare altrove l’Hessiana sono quelle che costituiscono le poloconiche (pure) delle due rette concorrenti in e formanti la conica polare di (136, b). I punti di contatto di quelle quattro rette sono in una conica tangente all’Hessiana in (130, d), e d’altronde i punti di contatto dell’Hessiana colle poloconiche pure di due rette giacciono nella poloconica mista di queste. Dunque:

La conica polare di un punto dell’Hessiana, rispetto all’Hessiana medesima, coincide colla poloconica mista delle due rette che formano la conica polare di , rispetto alla curva fondamentale.

138. Una trasversale condotta ad arbitrio per un polo fisso seghi la cubica fondamentale ne’ punti e la conica polare di in . Nella medesima trasversale si cerchino i due punti determinati dalle due equazioni:


  1. Più generalmente, se una conica taglia l’Hessiana in sei punti, i poli coniugati a questi giacciono in un’altra conica (129).