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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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priamente il pajo formato dalle rette satelliti di quelle che costituiscono la conica polare di $o$.

Dunque ciascuna delle due rette concorrenti in $o'$ e facenti parte della conica polare di $o$ ha per punto satellite (39, b) il punto $o'$. Ossia:

L’Hessiana è il luogo de’ punti satelliti delle rette che toccano la Cayleyana.

(b) Si ottiene un’altra definizione della Cayleyana, osservando che (fig. 8.ª) il punto $u$ è (133) il tangenziale di $o'$ (come anche di $o$) rispetto all’Hessiana; e siccome le rette $o(a,b,u,u')$ formano un fascio armonico, così $oo'$ è la retta polare di $u$ rispetto alla conica polare di $o'$. Dunque la Cayleyana è l’inviluppo della retta seconda polare mista di due punti dell’Hessiana, l’un de’ quali sia il tangenziale dell’altro¹.

Art. XXIII.

Fascio di curve del terz’ordine aventi i medesimi flessi.

139 Il teorema (71), applicato alla cubica fondamentale ${\rm {C_{3}}}$, significa che, se per un punto fisso $i$ della curva si tira una trasversale qualunque a segar quella in altri due punti $i_{1}i_{2}$, il luogo del coniugato armonico di $i$ rispetto ad $i_{1}i_{2}$ è la conica polare di $i$.

Ma se $i$ è un flesso della cubica, la conica polare si decompone nella relativa tangente stazionaria ed in un’altra retta ${\rm {I}}$ che non passa per $i$ (80). Dunque il luogo del punto coniugato armonico di un flesso di una cubica, rispetto ai due punti in cui questa è incontrata da una trasversale mobile intorno al flesso, è una retta².

Alla retta ${\rm {I}}$, che sega la cubica ne’ tre punti ove questa è toccata dalle tre tangenti concorrenti nel flesso (39, c), si dà il nome di polare armonica del flesso $i$, e non dee confondersi coll’ordinaria retta polare che è la tangente stazionaria³.

(a) Dal flesso $i$ si tirino due trasversali a segare la cubica rispettivamente ne’ punti $aa',bb'$. Siccome la polare armonica è pienamente determinata dai coniugati armonici di $i$ rispetto alle coppie di punti $aa',bb'$, così essa non è altro che la polare di $i$ rispetto al pajo di rette $(ab,a'b')$, oppure rispetto al pajo $(ab',a'b)$. Dunque (110, a) la retta ${\rm {I}}$ passa pel punto comune alle rette $(ab,a'b')$ e pel punto comune alle $(ab',a'b)$.

Se le due trasversali coincidono, si ottiene la proprietà che, se pel flesso $i$ si conduce una trasversale a segare la cubica in $a,b$, le tangenti in questi punti vanno ad incontrarsi sulla polare armonica di $i$.

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1. Cayley, A Memoir on curves etc. p. 439-442.
2. Maclaurin, l. c. p. 228.
3. {Prendendo $i$ come centro e la polare armonica come asse d’omologia, ogni cubica sarà omologica (armonica) a se stessa.}