Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/461

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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 447

(80), è un flesso (ed è la relativa polare armonica) per qualunque curva di terz’ordine passante pei sette punti anzidetti12.

(a) Una cubica ha nove flessi, che sono le intersezioni della medesima coll’Hessiana (100). Siccome poi la retta che unisce due flessi passa per un terzo flesso (139, b), così per ciascuno di que’ nove punti passeranno quattro rette contenenti gli otto restanti. Quindi, in virtù del precedente teorema, qualunque linea del terz’ordine descritta pei nove flessi di una data cubica ha i suoi flessi in questi medesimi punti3.

Le cubiche aventi in comune i nove flessi chiamansi sizigetiche.

(b) Siccome per ogni flesso della cubica data passano quattro rette, ciascuna delle quali contiene altri due flessi, così il numero delle rette contenenti tre flessi è . Indicando i flessi coi numeri , tali rette si possono rappresentare così:

, , , ,
, , , ,
, , , ;


dove si fa manifesto che queste dodici rette si ripartiscono in quattro gruppi, ciascuno de’ quali è formato da tre rette (scritte nella stessa linea verticale) passanti per tutti i nove punti d’inflessione. Dunque pei nove flessi di una cubica passano quattro sistemi di tre rette4, ossia in un fascio di cubiche sizigetiche v’hanno quattro cubiche, ciascuna delle quali si risolve in tre rette (cubiche trilatere).

Siccome una terna di rette può risguardarsi come una linea di terz’ordine dotata di tre punti doppi, e d’altronde (88) un fascio di cubiche contiene dodici punti doppi, così pei nove flessi della cubica data non passa, oltre i quattro sistemi di tre rette, alcuna curva dotata di punto doppio o di cuspide.

141. Considerando il flesso della cubica fondamentale come un punto dell’Hessiana (cioè come un punto avente per conica polare un pajo di rette incrociate in un altro punto ), il polo coniugato (132, b) ad è il punto d’intersezione della tangente stazionaria colla polare armonica. In generale, le tangenti all’Hessiana in due poli co-


  1. Salmon, Lettre à M. A. L. Crelle (Giornale di Crelle, t. 39, Berlino 1850, p. 365).
  2. {Se sono sei punti di una conica tali che le rette concorrano in un punto , tutte le cubiche passanti per avranno un flesso in ; e la relativa polare armonica sarà la polare di rispetto alla conica data.}
  3. Hesse, Ueber die Wendepuncte u. s. w. p. 107.
  4. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 284.