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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

ad uno degli altri due. Siano coniugati $5$ e $9$, $6$ e $7$. Le due rette reali $59$, $67$, e le due rette imaginarie coniugate $56$, $79$ si segano separatamente in due punti reali $r,r_{1}$, situati nella polare armonica del flesso $1$ (139, a).

Essendo reali le rette $123$, $148$, i flessi $23$, e così pure $48$, sono o entrambi reali, o imaginari coniugati. D’altronde le coppie di rette $(24,38)$, $(28,34)$ devono dare gli altri due vertici $r_{2},r_{3}$, situati in linea retta con $r,r_{1}$. Ma $r_{2}r_{3}$ sono imaginari, dunque i punti $2348$ non possono essere nè tutti reali, nè tutti imaginari; cioè $23$ sono reali, e $48$ imaginari.

Da ciò segue che de’ nove flessi di una cubica tre soli (in linea retta) sono reali, essendo gli altri imaginari coniugati a due a due¹. E delle dodici rette ${\rm {R}}$, che contengono le terne de’ flessi, quattro ($123$, $148$, $259$, $367$) sono reali; le altre no. Uno de’ quattro trilateri sizigetici ha un solo vertice reale; un altro ne ha tre; i rimanenti nessuno.

(b) Come si è supposto sin qui, sia $m$ uno de’ punti in cui una data cubica del fascio sega la retta ${\rm {I}}$, e sia $n$ l’intersezione di questa medesima retta colla tangente al flesso $i$. Supponiamo poi che i punti ${\rm {M,N}}$ abbiano analogo significato per l’Hessiana della cubica suddetta; avremo similmente alla 8):

${\overline {r\mathrm {M} }}^{3}+3r\mathrm {N} .{\overline {r\mathrm {M} }}^{2}-4h^{3}=0$.

Ma l’Hessiana passa, come si è già osservato (143), pel punto $n$, talchè sarà:

9)	${\overline {rn}}^{3}+3r\mathrm {N} .{\overline {rn}}^{2}-4h^{3}=0$,

donde, dato il punto $n$, si desume il punto ${\rm {N}}$. Per esempio, se $n$ cade in $r$, si ha $r\mathrm {N} =\infty$, cioè ${\rm {N}}$ coincide con $s$; e se $n$ è uno de’ punti $r_{1}r_{2}r_{3}$, ossia se $n$ è dato dall’equazione

${\overline {rn}}^{3}+8h^{3}=0$,

si ottiene:

$2r\mathrm {N} +rn=0$,

vale a dire, ${\rm {N}}$ è uno de’ punti $s_{1}s_{2}s_{3}$. Di qui si ricava che le cubiche sizigetiche le cui tangenti al flesso $i$ passano per uno de’ punti $rr_{1}r_{2}r_{3}$ hanno per Hessiane i trilateri sizigetici; come già si è trovato altrove (143, a).

Se invece è dato il punto ${\rm {N}}$, l’equazione 9) dà i tre punti $n$ corrispondenti alle tre cubiche, la comune Hessiana delle quali è la curva relativa al dato punto ${\rm {N}}$ (143).

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1. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 265.