Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/474

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460 introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Ne segue che i rapporti anarmonici de’ due fasci , sono eguali, ossia che i sei punti , , , , , giacciono in una stessa conica, come si è già dimostrato altrove (131, a).

Analogamente, concorrendo in le quattro rette , , , , i due fasci , avranno eguali rapporti anarmonici; ecc.

(d)
Come nel punto concorrono le rette
così
1.

Dunque i punti , ove si segano i raggi omologhi de’ due fasci projettivi , formano un quadrangolo completo, i cui punti diagonali appartengono alla cubica e sono i punti di contatto di tre tangenti concorrenti in , terza intersezione della curva colla retta .

Quando i punti coincidano, ritroviamo un teorema già dimostrato (146, a).

(e) I punti sono i centri di due fasci projettivi, ne’ quali alle rette corrispondono . Condotta per una retta qualunque che seghi nel punto ; unito con mediante una retta che seghi in ; sarà la retta corrispondente ad 2. In questo modo si trova che alla retta corrisponde od , secondo che si consideri appartenente al fascio o . Dunque (59) , sono le tangenti in , alla conica generata dai due fasci projettivi; ossia (107) è il polo della retta rispetto alla conica .

Analogamente, i punti sono i poli della retta rispetto alle altre tre coniche passanti per e per le intersezioni delle tangenti che concorrono in ed in (131, a). Ossia:

Le tangenti che si possono condurre ad una cubica da due suoi punti si segano in sedici punti situati a quattro a quattro in quattro coniche passanti per e .

I poli della retta rispetto a queste coniche giacciono nella cubica, la quale è ivi toccata da quattro rette concorrenti in , terza intersezione della curva colla retta .

I poli di rispetto a tre qualunque fra quelle coniche sono i punti diagonali del quadrangolo completo avente per vertici i quattro punti situati nella quarta conica3.

(f) La conica polare di , oltre al toccare la cubica in , la seghi ne’ punti . Ogni conica passante per incontra la cubica in due altri punti che sono in linea


  1. In ciascuno de’ punti concorrono sei rette analoghe a .95
  2. {Perchè è il punto in cui concorrono le rette che uniscono le intersezioni delle coppie alterne di raggi, come , ; , ; ecc.96}
  3. Salmon, Théorèmes sur les courbes de troisième degré, p. 276, — Higher plane curves, p. 134.