Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/498

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o presi, ad arbitrio» vada intesa nel senso di «punti generici», cioè «escluse talune posizioni eccezionali».

[52] Pag. 359. Questo fatto non si può asserire senza riserve: perchè gli \tfrac{n(n+3)}{2}-1 punti, essendo stati presi sulle due curve date, di ordini p,\, q, non sono «punti presi ad arbitrio» nel senso della proposizione del n. 41 qui invocata. Effettivamente il teorema di Plücker, a cui poi si giunge, esigerebbe qualche restrizione (cfr. nota seguente); e così pure i corollari che se ne traggono in questo n. 43 e nel n. 44.

[53] Pag. 360. Qui, in (A), si aggiunge: «se in numero \infty^1». Cfr. le due note precedenti.

[54] Pag. 360. Anche qui occorrono restrizioni. La dimostrazione che segue esige, fra altro, che sia n< m +p: se no, non si posson prendere (n. 42) su C_p gli \tfrac{(n-m)(n-m+3)}{2} punti per descrivere C_{n-m} (irriducibile). Così per  n=3, m = 2, p = 1 il teorema non vale. — È vera però, senza riserve, la proposizione così modificata (che occorre nel seguito): Date due curve C_m,\, C_p che si taglino in mp punti, se per questi passa una C_n, ove n>p, essa taglia ulteriormente C_m in m(n-p) punti situati sopra una curva d’ordine n-p.

[55] Pag. 361. Questo teorema vale solo (come già diceva il Cayley) colla condizione n\leq m+p - 3. Anzi, esso va modificato così: fra le mp intersezioni di due curve d’ordini m,\, p se ne posson trovare mp-\tfrac{(m+p-n -1)(m+p-n-2)}{2} tali che qualunque curva d ordine n\leq m+p - 3 descritta per essi passa anche ecc. ecc.

[56] Pag. 364. Per poter conchiudere che si ha un’involuzione non basterebbe quel carattere: occorrerebbe anche invocare, per esempio, l’algébricità. Cfr. nota [42].

[57] Pag. 366. Si aggiunga all’una o l’altra ipotesi anche il caso s=s'.

[58] Pag. 366. La determinazione delle due tangenti in o a C_{n+n'} è fatta nel 1.° articolo (n. 4) della Memoria n. 53 « Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane».

[59] Pag. 367. La dimostrazione di questo fatto viene, nel seguito, scomposta in due parti (nn. 54 e 55).
Nel n. 54 si fa vedere che, se una C_{n+n'} contiene n^2 punti formanti la base d’un fascio d’ordine n, essa può esser generata con due fasci projettivi degli ordini n, n'. Ciò è vero; ma il ragionamento si serve ripetutamente, per curve d’ordine n+n' del teorema del n. 41 (al quale si riferiva la nota [51]), in casi che si prestano a riserve simili a quelle che abbiam fatto in [52].
Quanto all’esistenza su ogni C_{n+n'} di gruppi di n^2 punti base per fasci d’ordine n, essa è poi provata nel n. 55, ma con solo conto di costanti: metodo che, in problemi di questa natura, non serve.
Ciò nondimeno il fatto essenziale è esatto. Cfr. C. Küpper, Projective Erzeugung der Curven m-ter Ordnung (Mathematische Annalen, t. 48, 1897, pag. 401).