Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/503

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ordine n, l'equazione \lambda_1U_1 + \lambda_2U_2=0 rappresenta un sistema semplicemente infinito (\infty^1) di curve dello stesso ordine n, individuate dagli \infty^1 valori del rapporto o parametro \lambda_1 : \lambda_2. A questo sistema, caratterizzato dalla proprietà che per un punto arbitrario del piano passa una ed una sola curva, si è dato il nome di fascio. Siccome i valori del rapporto \lambda_1 : \lambda_2 si possono rappresentare coi punti di una retta (punteggiata) o coi raggi di un fascio, così le curve del fascio \lambda_1U_1 + \lambda_2U_2=0 si possono riferire univocamente agli elementi di una retta punteggiata o di un fascio di raggi (assumendo ad arbitrio tre coppie di elementi corrispondenti).

Analogamente, se U_1 = 0, U_2=0, U_3 = 0 sono le equazioni di tre curve d'ordine n non appartenenti ad uno stesso fascio, ossia linearmente indipendenti, l'equazione \lambda_1U_1 + \lambda_2U_2 + \lambda_3 U_3=0 rappresenta un sistema doppiamente infinito (\infty^2) di curve d'ordine n, determinate dagli \infty^2 valori dei due rapporti \lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3. A questo sistema, che è caratterizzato dalla proprietà che per due punti arbitrari passa una sola curva, ossia che per un punto arbitrario passano \infty^1 curve formanti un fascio, si dà il nome di rete. Come i valori dei rapporti \lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 si possono rappresentare coi punti (o colle rette) di un piano, così le curve di una rete si possono riferire univocamente ai punti (o alle rette) di un piano. Rappresentando per esempio le curve della rete coi punti del piano, i fasci di curve contenuti nella rete vengono ad essere rappresentati dalle rette del piano stesso. Perciò si vede subito che la rete contiene \infty^2 fasci; che due fasci della rete hanno una curva comune; e che una curva è comune a \infty^1 fasci [della rete]. Una rete è determinata da tre curve (dello stesso ordine) non appartenenti ad uno stesso fascio, ovvero da due fasci (dello stesso ordine) aventi una curva comune. Tre curve non hanno, in generale, punti comuni; ma se tre curve determinanti una rete hanno punti comuni, essi sono comuni a tutte le curve della rete.

In modo simigliante, l'equazione \lambda_1U_1 + \lambda_2U_2 + \lambda_3 U_3 + \lambda_4 U_4=0 rappresenta un sistema triplamente infinito (\infty^3) di curve dello stesso ordine, corrispondenti agli \infty^3 valori dei tre rapporti \lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 :\lambda_4, supposto che le quattro curve U_1=0, U_2 = 0, U_3 = 0, U_4 = 0 non appartengano ad una stessa rete. In questo sistema tutte le curve che passano per uno stesso punto arbitrario formano una rete; tutte quelle che passano per due punti arbitrari formano un fascio; e per tre punti quali si vogliano passa una sola curva del sistema. I valori dei rapporti \lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 :\lambda_4 si possono rappresentare coi punti dello spazio a tre dimensioni ; perciò le \infty^3 curve del sistema in discorso si possono far corrispondere univocamente ai punti dello spazio. I piani dello spazio rappresentano allora le reti contenute nel sistema; e le rette dello spazio ne rappresentano i fasci. Donde si trae subito che due reti (del sistema) hanno un fascio comune, che tre reti hanno una curva comune, che una rete ed un fascio hanno una curva comune, e che due fasci hanno una curva comune solamente quando sono contenuti in una stessa rete.

Proseguendo si potrebbero considerare sistemi \infty^4,\, \infty^5 \dots di curve d' ordine n. In generale un sistema \infty^r è rappresentato da un'equazione \lambda_1U_1 + \lambda_2U_2 + \lambda_3 U_3 + \lambda_{r+1} U_{r+1}=0 , dove le ... [manca il seguito].

[77] Pag. 397. Questa denominazione l'Autore voleva poi sostituita dovunque con Jacobiana della rete, pur conservando il nome Hessiana per la linea definita in (90, a). (Ciò s'accorda colla designazione: Jacobiana di tre curve, introdotta al n. 93).

[78] Pag. 397. Nell'originale, dopo la citazione (48), era detto: «ed una di queste ha per