Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/504

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tangente cuspidale la retta T». Invece quella curva del fascio che ha T per una tangente in a non sarà in generale una delle due curve che sono cuspidate in a.

L'Autore, in (A), aveva cancellato quella frase ed anche la successiva, con cui finisce questo n. 92.

[79] Pag. 401. Esistono alcuni fogli manoscritti del Cremona in cui si ricerca la moltiplicità della Jacobiana di tre curve, in punti che presentano altri casi particolari. Sono però abbozzi, che non occorre publicare. Riproduciamo invece una parte di ciò che è scritto, in (A), accanto a questo n. 96:

«Quando o sia un punto (r)plo per le tre curve C,\, C',\, C'', la curva K' corrispondente ad una retta L ha in o un punto (2r-1)plo, ed ivi ha per tangenti L ed i 2(r -1) raggi doppi dell'involuzione determinata dai due gruppi di tangenti in O alle curve C,\, C' (in virtù del n. 51). Analogamente per K''; quindi, siccome tutte le curve K',\, K'' hanno in o un punto (2r-1)plo, ed inoltre due curve corrispondenti K',\, K'' hanno sempre una tangente comune L, così o sarà un punto (2(2r -1) + 1)plo per la curva complessiva generata dai fasci delle K',\, K''. Ma di questa fa parte la 1a polare di o rispetto a C, che ha in o un punto (r)plo; dunque la Jacobiana avrà in o un punto multiplo secondo il numero 2(2r- 1) +1 - r = 3r - 1.

«Se una delle curve della rete, per esempio C'', ha in o un punto (r+1)plo, le tangenti di C'' sono tutte tangenti anche della Jacobiana. Le altre 2(r - 1) tangenti di questa sono i raggi della Jacobiana dei due gruppi di tangenti in o alle curve C,\, C'.

«Da ciò segue, nella teoria delle polari, che se la curva fondamentale ha un punto (r)plo la Hessiana ha ivi un punto (3r -4)plo; le due curve hanno [in esso] r tangenti comuni; perciò quel punto assorbe 3r (r - 1) intersezioni.»

Seguono altre considerazioni (incomplete) dirette a provare che in generale un punto (r)plo con s tangenti riunite produce sul numero dei flessi, come (n. 74) sulla classe, la stessa diminuzione che produrrebbero \tfrac{r(r-1)}{2}-(s-1) nodi ed s - 1 cuspidi.

[80] Pag. 401. Se non si aggiunge al testo originale la condizione che qui s'è messa fra [ ], la frase che vien dopo va modificata così: «la curva Hessiana della rete ha tre rami passanti per o, uno dei quali è ivi tangente alla retta T e gli altri due sono toccati dalle due curve della rete che hanno una cuspide in o». Questa modificazione appunto si trova in (A). — Cfr. la nota [78].

[81] Pag. 402. Cfr. la nota **) a pie di pag. 394.

[82] Pag. 404. Quest' osservazione, fra [ ], non stava nell' originale ; ma è necessaria per poter poi applicare il n. (97, d).

[83] Pag. 406. Qui l'A. continua, in margine ad (A) (cfr. la nota seguente):

Ne segue che il numero delle curve di una rete d'ordine n - 1, che toccano due curve i cui ordini siano m,\, m', e le classi M,\, M', è

4(n-2)^2mm'+2(n - 2)(mM'+ m' M) + M M'.

[84] Pag. 406. In margine a queste due righe, l'Autore ha scritto a matita: no.