Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/150

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20. Se una curva sega la Jacobiana in punti , la curva toccherà ne’ corrispondenti punti il luogo dei punti ai quali corrispondono curve tangenti a (Introd. 122). Ecc. ecc. [49]

Sulle reti di curve di second'ordine.


21. Data una rete di coniche, consideriamole come polari relative ad una curva di terz’ordine incognita, e cerchiamone i poli. Siano tre coniche della rete, non circoscritte ad uno stesso quadrangolo: e si supponga, ciò che evidentemente è lecito senza punto scemare la generalità della ricerca, che siano due paja di rette rispettivamente incrociate in ; ed passi per questi due punti. Sia poi il terzo punto diagonale del quadrangolo formato dalle quattro intersezioni di ; e si chiamino poli incogniti delle tre coniche. Siccome la retta polare di rispetto ad dee coincidere (6) colla retta polare di rispetto ad , così tale polare sarà necessariamente la retta ; epperò saranno rispettivamente situati in . La polare di rispetto ad dev’essere anche la polare di rispetto ad , dunque passerà per ; cioè giace anche sulla tangente ad in . Analogamente è situato nella tangente ad in .

Trovati così , siano le loro polari rispetto ad : queste rette saranno anche le polari di rispetto ad : dunque è l’intersezione della coniugata armonica di rispetto alle due rette , colla coniugata armonica di rispetto alle due rette .

Ed ora si potrà costruire il polo di qualunque altra conica della rete: infatti il punto sarà, rispetto ad , il polo di quella retta che è la polare di rispetto ad .

Viceversa, dato un punto , si potrà determinare la sua conica polare per es. nel seguente modo. Si cerchi la retta che unisce i poli di due coniche della rete passanti per . La conica richiesta sarà quella rispetto alla quale è il polo della retta .

Ed ecco come si possono determinare le intersezioni della cubica fondamentale con una trasversale qualunque . Se è un punto in , la sua conica polare sega in due punti . Viceversa, se si prende in un punto , le coniche polari passanti per hanno i loro poli nella retta polare di questo punto, la quale segherà in un punto . Quindi le coppie di punti formano un’involuzione (quadratica) projettiva alla serie semplice de’ punti . I tre punti comuni alle due serie sono quei punti di che giacciono nelle rispettive coniche polari, cioè sono i punti ove la cubica fondamentale è incontrata dalla trasversale .

22. Veniamo ora a casi particolari e supponiamo che nella rete vi sia una conica