Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/223

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perchè hanno in comune i punti principali della prima figura ed i punti doppi del sistema, ciò che equivale a


condizioni comuni.

30. I due piani ora non coincidano; e fissati nello spazio due punti , si unisca ad un punto qualunque del piano , e al corrispondente punto del piano . Se il punto varia in tutt’ i modi possibili nel piano , le rette generano due fasci conici1 aventi tra loro questa relazione che ad una retta qualunque nell’uno corrisponde una retta determinata (in generale unica) nell’altro e ad un piano nell’un fascio corrisponde nell’altro un cono d’ordine : e tutt’i coni analoghi di un fascio che corrispondono ai piani dell’altro hanno in comune un certo numero () di generatrici plo, ove i numeri sodisfanno alle equazioni (1), (2).

Se i due fasci conici (), () si segano con un piano trasversale qualunque, otterremo in questo due figure che si corrisponderanno punto per punto, in modo che alle rette dell’una corrisponderanno nell’altra curve d’ordine ; e siccome il sistema di queste due figure ammette punti doppi, così ne segue che il luogo dei punti ove si segano raggi omologhi de’ due fasci conici (), () è una curva gobba d’ordine . È evidente poi che questa curva passa pei punti ed è ivi toccata dalle rette che corrispondono alla , considerata come appartenente, prima al fascio , indi al fascio .

Se è un punto principale di grado della prima figura (in ), al raggio corrisponderà il cono avente il vertice in e per base la curva principale d’ordine che (in ) corrisponde ad ; le intersezioni di questo cono colla retta saranno punti della curva gobba. Ond’è che questa ha punti sul raggio ; ed altrettanti sul raggio , se è un punto principale di grado della seconda figura.

31. Arriviamo ai medesimi risultati se poniamo la quistione in questi altri termini: quale è il luogo di un punto nel piano , se il raggio incontra il raggio omologo ? Se è l’intersezione del piano colla retta , i punti costituiranno una terza figura avente colla prima (costituita dai punti ) la stessa corrispondenza che

  1. Strahlenbündel dei tedeschi (Staudt, Geometrie der Lage, p. 4, Nürnberg 1847).