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sulle trasformazioni geometriche delle figure piane. 55


Sulle trasformazioni delle figure piane.

Considero due figure situate l’una in un piano , l’altra in un piano , e suppongo che la seconda sia stata dedotta dalla prima per mezzo di una qualunque legge di trasformazione: in modo però che a ciascun punto della prima figura corrisponda un solo punto nella seconda, e reciprocamente ad ogni punto di questa un solo punto in quella.

Le trasformazioni geometriche soggette alla condizione or ora enunciata sono le sole ch’io miri ad esaminare in questo scritto: e si chiameranno trasformazioni di primo ordine1, per distinguerle dalle altre determinate da condizioni diverse.

Supposto che la trasformazione per la quale le figure proposte sono dedotte l’una dall’altra sia, tra quelle di primo ordine, la più generale possibile, domando: quali linee di una figura corrispondono alle rette dell’altra?

Sia l’ordine della linea che nel piano (o ) corrisponde ad una qualsivoglia retta del piano (o ). Siccome una retta del piano è determinata da due punti , così i due punti corrispondenti del piano basteranno a individuare la linea che corrisponde a quella retta. Dunque le linee di una figura corrispondenti alle rette dell’altra formano un tal sistema che per due punti dati ad arbitrio passa una sola di esse ; cioè quelle linee formano una rete geometrica dell’ordine .2

Una linea dell’ordine è determinata da condizioni ; dunque le linee di una figura corrispondenti alle rette dell’altra sono soggette ad

condizioni comuni.

Due rette di una figura hanno un solo punto comune , da esse determinato. Il punto corrispondente di , apparterrà alle due linee di ordine che a quelle due rette corrispondono. E siccome queste due linee devono individuare il punto così le loro rimanenti intersezioni dovranno essere comuni a tutte le linee della rete geometrica suaccennata.

Sia il numero de’ punti pli (multipli secondo ) comuni a queste linee; siccome un punto plo comune a due linee equivale ad intersezioni delle medesime,

  1. Schiaparelli. Sulla trasformazione geometrica delle figure ed in particolare sulla trasformazione iperbolica (Memorie della R. Accademia delle scienze di Torino, serie 2ª, tom. XXI, Torino 1862).
  2. Vedi la mia Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane, p. 71 [Queste Opere, t. 1°, p. 396].