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sulle trasformazioni geometriche delle figure piane.

così avremo evidentemente:

1)	$x_{1}+4x_{2}+9x_{3}+\dots +(n-1)^{2}x_{n-1}=n^{2}-1$ .

Gli $x_{1}+x_{2}+x_{3}+\dots x_{n-1}$ punti comuni alle linee della rete costituiscono le ${\tfrac {(n-1)(n+4)}{2}}$ condizioni che la determinano. Se una linea deve passare $r$ volte per un punto dato, ciò equivale ad ${\tfrac {r(r+1)}{2}}$ condizioni; dunque:¹

2)	$x_{1}+3x_{2}+6x_{3}+\dots +{\frac {n(n-1)}{2}}x_{n-1}={\frac {(n-1)(n+4)}{2}}$ .

Le equazioni (1) e (2) sono evidentemente le sole condizioni alle quali debbano sodisfare i numeri interi e positivi $x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n-1}$ .²

Esempi. Per $n=2$ , le equazioni (1) e (2) si riducono all’unica:

$x_{1}=3$ ,

cioè alle rette di una figura corrisponderanno nell’altra curve di second’ordine circoscritte ad un triangolo costante.

↑ Scrivendo che le curve d'ordine $n$ , corrispondenti a rette, devono essere di genere zero, si ottiene un'equazione la quale coincide con quella che si avrebbe sottraendo la (2) dalla (1). Con ciò vien rimosso il dubbio se fra le condizioni determinanti la rete possano entrare altri elementi, oltre ai punti fissi comuni, nel qual caso la (2) avrebbe dovuto esser surrogata da una disuguaglianza.>
↑ Non si ottengono nuove equazioni, quando si prendano a considerare le curve che nel piano $P'$ corrispondono a linee di un dato ordine $\mu$ nel piano $P$ .
Infatti egli è evidente che ad una linea d’ordine $\mu$ situata nel piano $P$ corrisponderà nell’altro piano una curva dell’ordine $\mu n$ , passante volte per ciascuno degli $x_{r}$ punti multipli comuni alle curve corrispondenti alle rette del piano $P$ . Quindi per le intersezioni comuni a tutte le curve d’ordine $\mu n$ , corrispondenti alle linee d’ordine $\mu$ nel piano $P$ , avremo l’equazione:

$\mu ^{2}x_{1}+(2\mu )^{2}x_{2}+(3\mu )^{2}x_{3}+\dots +\left((n-1)\mu \right)^{2}x_{n-1}=\mu ^{2}n^{2}-\mu ^{2}$ ,

la quale non è altro che la (1) multiplicata per $m^{2}$ .

Siccome poi gli $x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}$ punti multipli comuni costituiscono le condizioni a cui sodisfanno in comune le dette curve d’ordine $\mu n$ , e siccome il numero di queste condizioni comuni deve essere eguale al numero delle condizioni che determinano una curva dell’ordine $\mu n$ , diminuito del numero delle condizioni che determinano la corrispondente curva d’ordine $\mu$ , così avremo:

${\frac {\mu (\mu +1)}{2}}x_{1}+{\frac {2\mu (2\mu +1)}{2}}x_{2}+\dots +{\frac {\mu (n-1)(\mu n+3)}{2}}x_{n-1}=$ ${\frac {\mu n(\mu n+3)-\mu (\mu +3)}{2}}$ ,

equazione che si può anche ottenere sommando la (1) moltiplicata per ${\tfrac {\mu (\mu -1)}{2}}$ colla (2) moltiplicata per $\mu$ .

[1] Scrivendo che le curve d'ordine $n$ , corrispondenti a rette, devono essere di genere zero, si ottiene un'equazione la quale coincide con quella che si avrebbe sottraendo la (2) dalla (1). Con ciò vien rimosso il dubbio se fra le condizioni determinanti la rete possano entrare altri elementi, oltre ai punti fissi comuni, nel qual caso la (2) avrebbe dovuto esser surrogata da una disuguaglianza.>

[2] Non si ottengono nuove equazioni, quando si prendano a considerare le curve che nel piano $P'$ corrispondono a linee di un dato ordine $\mu$ nel piano $P$ .
Infatti egli è evidente che ad una linea d’ordine $\mu$ situata nel piano $P$ corrisponderà nell’altro piano una curva dell’ordine $\mu n$ , passante volte per ciascuno degli $x_{r}$ punti multipli comuni alle curve corrispondenti alle rette del piano $P$ . Quindi per le intersezioni comuni a tutte le curve d’ordine $\mu n$ , corrispondenti alle linee d’ordine $\mu$ nel piano $P$ , avremo l’equazione:

$\mu ^{2}x_{1}+(2\mu )^{2}x_{2}+(3\mu )^{2}x_{3}+\dots +\left((n-1)\mu \right)^{2}x_{n-1}=\mu ^{2}n^{2}-\mu ^{2}$ ,

la quale non è altro che la (1) multiplicata per $m^{2}$ .

Siccome poi gli $x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}$ punti multipli comuni costituiscono le condizioni a cui sodisfanno in comune le dette curve d’ordine $\mu n$ , e siccome il numero di queste condizioni comuni deve essere eguale al numero delle condizioni che determinano una curva dell’ordine $\mu n$ , diminuito del numero delle condizioni che determinano la corrispondente curva d’ordine $\mu$ , così avremo:

${\frac {\mu (\mu +1)}{2}}x_{1}+{\frac {2\mu (2\mu +1)}{2}}x_{2}+\dots +{\frac {\mu (n-1)(\mu n+3)}{2}}x_{n-1}=$ ${\frac {\mu n(\mu n+3)-\mu (\mu +3)}{2}}$ ,

equazione che si può anche ottenere sommando la (1) moltiplicata per ${\tfrac {\mu (\mu -1)}{2}}$ colla (2) moltiplicata per $\mu$ .

1

2