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[13a), 13b)] SULLE SERIE A TERMINI POSITIVI

[Annali delle Università Toscane, IX (1867), p. 41-76 e Nota p. 77-70]

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Le serie a termini positivi sono quelle di cui a preferenza si sono occupati i Geometri, e su esse si sono trovati molti importanti teoremi, fra i quali meritano di essere citati quelli che il sig. Kummer ha pubblicato in una memoria inserita nel Vol. 13 del Giornale di Crelle, e che servono in molti casi per giudicare della convergenza o divergenza delle medesime serie. Modificando un poco questi teoremi io ho trovato che da essi si deducono colla massima facilità una gran parte dei teoremi particolari che si hanno sulle medesime serie, e se ne deducono pure alcun altri, e per questo ho creduto bene di pubblicare qui questa Nota.

1. Sia $\sum u_{n}$ una serie a termini positivi

$u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots$

e sia $k_{n}$ una funzione positiva di $n$ che a partire da un certo valore di $n$, col crescere di $n$ decresce continuamente ed ha per limite zero: s'indichi con a una costante arbitraria positiva, e si formi la funzione

$F(n)={\frac {k_{n}}{a}}-{\frac {k_{n+1}}{a}}-u_{n+1}$

Cangiando in questa $n$ in $n+1,n+2,\ldots ,n+s$, e sommando si otterrà

$F(n)+F(n+1)+...+F(n+s)={\frac {k_{n}}{a}}-{\frac {k_{n+s+1}}{a}}-$

$-(u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{n+s+1});$

e passando al limite, per $s$ ed $n$ infiniti, ed indicando ora e in seguito con $R_{n}$ il resto $u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots$ della serie $\sum u_{n}$, si troverà

$\lim\{F(n)+F(n+1)+\cdots \}=-\lim R_{n}$;