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È immediato poi estendere, per induzione completa, questa dimostrazione alla combinazione lineare di un numero qualsiasi di variabili casuali: se abbiamo

$F = a x + b y + c z +\cdots$

allora

$E(F) = a E(x) + b E(y) + c E(z) + \cdots.$

Una importante conseguenza può subito essere ricavata applicando l’equazione (5.2) alla media aritmetica $\bar x$ di un campione di $N$ misure: essa infatti si può considerare come una particolare combinazione lineare delle misure stesse, con coefficienti tutti uguali tra loro e pari ad $1 / N$.

Prendendo dalla popolazione un differente campione di $N$ misure, la loro media aritmetica $\bar x$ sarà anch’essa in generale diversa: quale sara la speranza matematica di $\bar x$, ovverosia il valore medio delle varie $\bar x$ su un numero molto elevato di campioni di $N$ misure estratti a caso dalla popolazione - e, al limite, su tutti i campioni (aventi la stessa dimensione fissa $N$) che dalla popolazione è possibile ricavare?

$E \left( \bar x \right)$	$=$	$E\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i\right)$
	$=$	$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N E \left( x_i \right)$
	$=$	$\frac{1}{N} \cdot N E(x),$

ed infine

$E \left( \bar x \right) = E(x),$

cioè:

Il valore medio della popolazione delle medie aritmetiche dei campioni di dimensione finita $N$ estratti da una popolazione coincide con il valore medio della popolazione stessa.

5.4 La varianza delle combinazioni lineari

Dimostriamo ora un altro teorema generale che riguarda la varianza di una combinazione lineare di piu variabili casuali, che supporremo però statisticamente indipendenti.