Teoria degli errori e fondamenti di statistica

by Maurizio Loreti

Maurizio Loreti

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Teoria degli errori e fondamenti di statistica

Maurizio Loreti

2006

Maurizio Loreti

Dipartimento di Fisica

Università degli Studi di Padova

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Teoria degli Errori
e Fondamenti di
Statistica

Introduzione alla Fisica Sperimentale

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Dicembre 2006

(Edizione privata fuori commercio)

Indice

•  Nota legale 
•  Indice 
•  Prefazione 
•  Prefazione alla sesta edizione 

•  1 Introduzione 

•  1.1 Il metodo scientifico 

•  2 La misura 

•  2.1 Misure dirette e misure indirette 
•  2.2 Le unità di misura 
•  2.3 Gli strumenti di misura 
•  2.4 Errori di misura 
•  2.5 Cifre significative ed arrotondamenti 
•  2.6 Errore relativo 

•  3 Elementi di teoria della probabilità 

•  3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali 
•  3.2 La probabilità: definizioni 
•  3.3 Proprietà della probabilità 

•  3.3.1 L'evento complementare 
•  3.3.2 Probabilità totale 
•  3.3.3 Probabilità condizionata e probabilità composta 
•  3.3.4 Il teorema di Bayes 

•  3.4 Definizione assiomatica della probabilità 

•  3.4.1 Le leggi della probabilità e la definizione assiomatica 

•  3.5 La convergenza statistica 

•  4 Elaborazione dei dati 

•  4.1 Istogrammi 
•  4.2 Stime di tendenza centrale 

•  4.2.1 La moda 
•  4.2.2 La mediana 
•  4.2.3 La media aritmetica 
•  4.2.4 Considerazioni complessive 
•  4.2.5 Prima giustificazione della media 
•  4.2.6 La media aritmetica espressa tramite le frequenze 

•  4.3 Stime di dispersione 

•  4.3.1 Semidispersione massima e quantili 
•  4.3.2 Deviazione media assoluta (errore medio) 
•  4.3.3 Varianza e deviazione standard 

•  4.4 Giustificazione della media 

•  5 Variabili casuali unidimensionali discrete 

•  5.1 Generalità 
•  5.2 Speranza matematica 
•  5.3 Il valore medio delle combinazioni lineari 
•  5.4 La varianza delle combinazioni lineari 
•  5.5 L'errore della media dei campioni 
•  5.6 La legge dei grandi numeri 

•  5.6.1 La disuguaglianza di Bienaymé-Čebyšef 
•  5.6.2 Il teorema di Čebyšef 
•  5.6.3 Il teorema di Bernoulli 

•  5.7 Valore medio e valore vero 
•  5.8 Scarto ed errore quadratico medio 
•  5.9 Stima della varianza della popolazione 
•  5.10 Ancora sull'errore quadratico medio 

•  6 Variabili casuali unidimensionali continue 

•  6.1 La densità di probabilità 
•  6.2 La speranza matematica per le variabili continue 
•  6.3 I momenti 
•  6.4 Funzione generatrice e funzione caratteristica 

•  6.4.1 Funzioni caratteristiche di variabili discrete 

•  6.5 Cambiamento di variabile casuale 
•  6.6 I valori estremi di un campione 

•  7 Variabili casuali pluridimensionali 

•  7.1 Variabili casuali bidimensionali 

•  7.1.1 Momenti, funzione caratteristica e funzione generatrice 
•  7.1.2 Cambiamento di variabile casuale 
•  7.1.3 Applicazione: il rapporto di due variabili casuali indipendenti 
•  7.1.4 Applicazione: il decadimento debole della Λ⁰ 
•  7.1.5 Applicazione: il decadimento debole K⁰_e3 
•  7.1.6 Ancora sui valori estremi di un campione 

•  7.2 Cenni sulle variabili casuali in più di due dimensioni 

•  8 Esempi di distribuzioni teoriche 

•  8.1 La distribuzione uniforme 

•  8.1.1 Applicazione: decadimento del π° 
•  8.1.2 Applicazione: generazione di numeri casuali con distribuzione data 
•  8.1.3 Esempio: valori estremi di un campione di dati a distribuzione uniforme 

•  8.2 La distribuzione normale 
•  8.3 La distribuzione di Cauchy 

•  8.3.1 Il rapporto di due variabili normali 

•  8.4 La distribuzione di Bernoulli 

•  8.4.1 Applicazione: decadimenti radioattivi 
•  8.4.2 Applicazione: il rapporto di asimmetria 
•  8.4.3 La distribuzione binomiale negativa 

•  8.5 La distribuzione di Poisson 

•  8.5.1 Applicazione: esperimenti negativi 
•  8.5.2 Applicazione: ancora il rapporto di asimmetria 
•  8.5.3 La distribuzione esponenziale 
•  8.5.4 La distribuzione di Erlang 
•  8.5.5 La distribuzione composta di Poisson 
•  8.5.6 Esempio: l'osservazione di un quark isolato 
•  8.5.7 Applicazione: segnale e fondo 

•  8.6 La distribuzione log-normale 
•  8.7 La distribuzione normale in più dimensioni 

•  9 La legge di Gauss 

•  9.1 La funzione di Gauss 
•  9.2 Proprietà della legge normale 
•  9.3 Lo scarto normalizzato 
•  9.4 Il significato geometrico di σ 
•  9.5 La curva di Gauss nella pratica 
•  9.6 Esame dei dati 
•  9.7 Sommario delle misure dirette 
•  9.8 Il teorema del limite centrale 

•  9.8.1 Applicazione: numeri casuali normali 

•  10 Le misure indirette 

•  10.1 Risultato della misura 
•  10.2 Combinazioni lineari di misure dirette 
•  10.3 La formula di propagazione degli errori 
•  10.4 Errore dei prodotti di potenze 
•  10.5 Errori massimi 

•  11 Stime di parametri 

•  11.1 Stime e loro caratteristiche 
•  11.2 La stima di massima verosimiglianza 

•  11.2.1 Un esempio di stima sufficiente 

•  11.3 Media pesata 
•  11.4 Interpolazione dei dati con una curva 

•  11.4.1 Interpolazione lineare per due variabili 
•  11.4.2 Stima a posteriori degli errori di misura 
•  11.4.3 Interpolazione con una retta per l'origine 
•  11.4.4 Interpolazione lineare nel caso generale 
•  11.4.5 Interpolazione non lineare 

•  11.5 Altre applicazioni della stima di massima verosimiglianza 

•  11.5.1 Stima di probabilità 
•  11.5.2 Media e varianza di una popolazione normale 
•  11.5.3 Range di una popolazione uniforme 
•  11.5.4 Stima della vita media di una particella 

•  12 La verifica delle ipotesi (I) 

•  12.1 La distribuzione del χ² 
•  12.2 Verifiche basate sulla distribuzione del χ² 

•  12.2.1 Compatibilità dei dati con una distribuzione 
•  12.2.2 Il metodo del minimo χ² 
•  12.2.3 Test di omogeneità per dati raggruppati 
•  12.2.4 Un esempio: diffusione elastica protone-protone 

•  12.3 Compatibilità con un valore prefissato 
•  12.4 I piccoli campioni e la distribuzione di Student 
•  12.5 La compatibilità di due valori misurati 
•  12.6 La distribuzione di Fisher 

•  12.6.1 Confronto tra varianze 

•  12.7 Il metodo di Kolmogorov e Smirnov 

•  13 La verifica delle ipotesi (II) 

•  13.1 Un primo esempio 
•  13.2 Il lemma di Neyman-Pearson 
•  13.3 Tests di massima potenza uniforme 
•  13.4 Il rapporto delle massime verosimiglianze 
•  13.5 Applicazione: ipotesi sulle probabilità 
•  13.6 Applicazione: valore medio di una popolazione normale 

Appendici

•  A Cenni di calcolo combinatorio 

•  A.1 Il lemma fondamentale del calcolo combinatorio 
•  A.2 Fattoriale di un numero intero 
•  A.3 Disposizioni 
•  A.4 Permutazioni 
•  A.5 Permutazioni con ripetizione 
•  A.6 Combinazioni 
•  A.7 Partizioni ordinate 

•  B L'errore della varianza 

•  C Covarianza e correlazione 

•  C.1 La covarianza 
•  C.2 La correlazione lineare 
•  C.3 Propagazione degli errori per variabili correlate 
•  C.4 Applicazioni all'interpolazione lineare 

•  C.4.1 Riscrittura delle equazioni dei minimi quadrati 
•  C.4.2 Verifica di ipotesi sulla correlazione lineare 
•  C.4.3 La correlazione tra i coefficienti della retta 
•  C.4.4 Stima puntuale mediante l'interpolazione lineare 
•  C.4.5 Verifica di ipotesi nell'interpolazione lineare 
•  C.4.6 Adeguatezza dell'interpolazione lineare o polinomiale in genere 
•  C.4.7 Il run test per i residui 

•  C.5 Applicazioni alla stima di parametri 

•  D Il modello di Laplace e la funzione di Gauss 
•  E La funzione di verosimiglianza 

•  F La licenza GNU GPL (General Public License) 

•  F.1 The GNU General Public License 
•  F.2 Licenza pubblica generica del progetto GNU 

•  G Tabelle 
•  H Bibliografia 
•  Indice analitico