Cinesi, scuola e matematica/Costruzione di quadrati magici

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Scheda: i quadrati magici Opere, personaggi e risultati notevoli della produzione matematica cinese

[p. 30 modifica]Numero dei quadrati possibili

La ricerca matematica in questo campo è legata all’algebra ed ha ottenuto risultati interessanti. Ad esempio si è dimostrato che, contando una sola volta quelli equivalenti, i quadrati magici normali di lato 1 sono solo 1, 0 di lato 2, 1 di lato 3, ben 880 di lato 4, e addirittura 275.305.224 di lato 5. Per lati maggiori il problema è ancora aperto. Con l’eccezione di 2, esistono quadrati magici normali di ogni lato.

Quelli di lato 1 sono banali e non ci interessano. Non esistono quadrati magici normali di lato 2 e tutti i quadrati magici di questa dimensione riportano lo stesso numero in tutte le caselle. Vediamo ora alcuni metodi per ottenere quadrati magici normali. Essi variano a seconda del lato.

Lato 3

Essi sono tutti e soli gli otto indicati sopra, cioè quello del fiume Luò ed i suoi equivalenti. Fingiamo di non saperlo ma ricordiamo che un quadrato magico normale di lato 3 conterrà tutti i numeri naturali da 1 a 32 = 9. La costante magica sarà . Ora ci resta da capire come collocare i numeri nel quadrato di nove caselle.

Per comodità denominiamo gli elementi del quadrato col formalismo in uso per le matrici, cioè intendendo con A13 l’elemento della casella appartenente alla prima riga ed alla terza colonna. Il quadrato diviene dunque:

A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33

Essendo noto il valore di tutte le somme per riga, colonna e diagonale e conoscendo il valore della somma di tutti gli elementi del quadrato potremmo impostare un sistema di nove equazioni in nove incognite e tentare di risolverlo:

con vincoli: [p. 31 modifica]Esiste però un metodo più affascinante (Bagni, 1996).

L’elemento della casella centrale A22 compare nelle somme degli elementi delle due diagonali e della riga e della colonna centrali. Se facciamo la somma di tutti questi elementi coinvolgiamo tutte le caselle del quadrato una volta, salvo quella centrale che interviene coinvolta quattro volte:

(A11+A22+A33)+(A13+A22+A31)+(A12+A22+A32)+(A21+A22+A23)=

=(A11+A12+A13+A21+A22+A23+A31+A32+A33)+3 × A22

le quattro somme nelle parentesi a primo membro valgono tutte 15 mentre la somma nella parentesi a secondo membro è la somma di tutti gli elementi del quadrato magico normale di lato 3, cioè di tutti i numeri naturali da 1 a 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45, per cui l’equazione diviene:

4×15=45+3×A22

da cui: 60=45+3×A22 ⇔ 60-45=3×A22 ⇔ 15=3×A22A22=A22=5

Possiamo piazzare il primo numero sicuro:

 
5
 

Per riempire la altre caselle consideriamo che 5 non compare più, quindi la nostra scelta si limita a 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Inoltre le somme degli elementi che vanno nelle caselle esterne delle due diagonali e della riga e della colonna centrali valgono 10 (A11+5+A33=15 ⇔ A11+A33=10 e così analogamente per tutte le altre). Le coppie di numeri disponibili che hanno per somma 10 sono: 1 e 9, 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6. proviamo quindi a piazzarle nello schema nelle due caselle esterne di una diagonale o della riga o della colona centrali. Le scelte che si fanno a questo punto determinano quale degli otto quadrati magici normali di lato 3 possibili si otterrà. Prendiamo la prima coppia: 1 e 9 e proviamo a sistemarla:

1
5
9
1
5
9
1
5
9

9 5 1

9
5
1
9
5
1
9
5
1

1 5 9

In realtà la casistica si riconduce a soli due casi, quello del primo quadrato (con 1 e 9 nella diagonale) e quello del secondo (con 1 e 9 in una riga o colonna centrale); negli altri tutto è analogo.

Nel caso della diagonale, però, incontreremmo insormontabili difficoltà a completare le righe e le colonne con le coppie di numeri disponibili: 2 e 8, 3 e 7, 4 e 6. Infatti per ottenere 15 da 1 possiamo sommarlo, oltre che a 5 e 9, solo ad 8 e 6, che possono essere inseriti in due modi e poi per ognuno anche per l’ultima coppia abbiamo due scelte:

1 6 8
7 5 3
2 4 9
1 6 8
5
2 4 9
1
5
9
1 8 6
5
4 2 9
1 8 6
3 5 7
4 2 9









1 6 8
3 5 7
2 4 9



1 8 6
7 5 3
4 2 9


[p. 32 modifica]Tutte, però, portano ad almeno una colonna la cui somma non è 15. Ecco che resta da praticare solo

l’opzione con 1 e 9 in una riga o colonna centrali. Qui i completamenti sono più semplici e portano a quadrati non magici solo in due casi:

8 1 6
3 5 7
4 9 2
8 1 6
5
4 9 2
1
5
9
6 1 8
5
2 9 4
6 1 8
3 5 7
2 9 4









8 1 6
7 5 3
4 9 2



6 1 8
7 5 3
2 9 4


Ruotando i quadrati così ottenuti o considerando i loro simmetrici rispetto alle righe od alle colonne centrali si ottengono altri quadrati magici. Lato dispari in generale Cerchiamo ora di generalizzare ad un lato n ≥ 3 naturale dispari qualsiasi. Intanto sappiamo calcolare la costante magica . Valgono poi i seguenti due:

Teoremi:

10) l’elemento centrale di un quadrato magico normale di lato n naturale dispari è uguale al numero centrale della successione dei numeri naturali da 1 ad n2, cioè ;
11) 1 ed n2 compaiono sempre in caselle esterne simmetriche rispetto alla casella centrale.

Nel quadrato del fiume Luò ad esempio si ha al centro ed 1 e 9 sono agli antipodi nella colonna centrale.

Lato dispari – metodo siamese

Questo metodo si chiama così perche venne importato in Europa dal regno del Siam alla fine del XVI secolo da un diplomatico.

Algoritimcamente si può rendere cosi:

I) metti 1 nella casella centrale della prima riga;
II) se hai piazzato il numero t in una casella, piazza il numero t+1 nella casella che trovi spostandoti

in diagonale in alto a destra;

III) se una mossa ti porta fuori, vai alla casella della stessa riga o colonna dal lato opposto come se

sbucassi dall’altra parte;

IV) se muovendo da una casella andresti su di una casella piena, torna indietro e scendi di una casella.

Esempio di lato 3: [p. 33 modifica]

    2                
  1  
     
     
 
  1
   
     
 
  1  
 
     
3
  1  
3    
    2
 
  1  
3    
4   2
 
  1  
3 5  
4   2
    Regola III   Regola IV    


  7     9        
1 6
3 5
4 2
 
1 6
3 5 7
4 2
 
8 1 6
3 5 7
4 2
 
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Regola IV
Regola III
Regola III Regola III


Esempio di lato 5:

      2                          
    1    
         
         
         
         
 
    1    
         
         
        3
      2  
 
    1    
  5      
4        
        3
      2  
   
  4
   
   
        9                        
    1 8  
  5 7    
4 6      
        3
      2  
 
    1 8  
  5 7    
4 6      
        3
      2 9
 
    1 8  
  5 7    
4 6      
10       3
      2 9
   
   
  10
   
[p. 34 modifica]
          16               18      
1 8 15
5 7 14
4 6 13
10 12 3
11 2 9
 
1 8 15
5 7 14 16
4 6 13
10 12 3
11 2 9
 17 
17 1 8 15
5 7 14 16
4 6 13
10 12 3
11 2 9
   
   
   
   
                          25      
17 1 8 15
5 7 14 16
4 6 13 20
10 12 19 21 3
11 18 2 9
 
17 1 8 15
5 7 14 16
4 6 13 20
10 12 19 21 3
11 18 2 9
 
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20
10 12 19 21 3
11 18 2 9
   
  23
   
   
 
 
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9


Lato pari multiplo di 4

È possibile costruire quadrati magici di ogni lato maggiore di 2, ma nel caso di lati genericamente pari gli algoritmi costruttivi si fanno un po’ complessi. L’eccezione è costituita dal lato 4 e dai suoi multipli, per cui esiste un metodo semplicissimo. Con esso si ottengono quadrati in cui 1 e in una casella angolare ed n2 e in quella angolare opposta rispetto all’origine:

I) metti 1 nella casella angolare in alto a destra;
II) da li conta le caselle in ordine da sinistra a destra ed andando a capo alla fine della riga e metti nelle caselle delle diagonali il numero corrispondente al conteggio;
III) riparti a contare le caselle da quella angolare in alta a sinistra, ma conta al contrario da n2 e scrivi

i numeri corrispondenti nelle caselle ancora vuote. [p. 35 modifica]Esempio di lato 4:

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 
1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16
 
16 15 14 13
12 11 10 9
8 7 6 5
4 3 2 1
   
   

Esempio di lato 8:

1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
64 63 62 61 60 59 58 57
56 55 54 53 52 51 50 49
48 47 46 45 44 43 42 41
40 39 38 37 36 35 34 33
32 31 30 29 28 27 26 25
24 23 22 21 20 19 18 17
16 15 14 13 12 11 10 9
8 7 6 5 4 3 2 1

1 63 62 61 60 59 58 8
56 10 54 53 52 51 15 49
48 47 19 45 44 22 42 41
40 39 38 28 29 35 34 33
32 31 30 36 37 27 26 25
24 23 43 21 20 46 18 17
16 50 14 13 12 11 55 9
57 7 6 5 4 3 2 64

Se si parte da una delle altre caselle angolari si ottiene ancora un quadrato magico regolare se si modificano coerentemente i sensi di marcia. Per esempio partiamo dalla casella in altro a destra e da essa andiamo da sinistra a destra nei due conteggi. [p. 36 modifica]

4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
16 15 14 13
 
4 14 15 1
9 7 6 12
5 11 10 8
16 2 3 13
 
13 14 15 16
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4
   
   

Se invece partiamo sempre dalla casella in alto a destra e ci limitiamo a cambiare il senso di conteggio si ottiene un quadrato equivalente. Per esempio procediamo dall’altro in basso e dalla prima colonna all’ultima:

1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16
 
1 12 8 13
15 6 10 3
14 7 11 2
4 9 5 16
 
16 12 8 4
15 11 7 3
14 10 6 2
13 9 5 1
       

Questo è simmetrico del primo di questo paragrafo rispetto alla diagonale principale:

1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16
 
1 12 8 13
15 6 10 3
14 7 11 2
4 9 5 16
 
 
 


Gli è dunque equivalente. Un altro quadrato magico normale di lato 4 interessante si ottiene contraddicendo le due regole fondamentali dell’algoritmo proposto, cioè partendo dalla casella angolare in basso a destra e spostandosi da destra a sinistra e dal basso in alto:

16 15 14 13
12 11 10 9
8 7 6 5
4 3 2 1
 
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
13 14 15 1
 
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
   
   

E’ quello scelto da Dürer per la sua incisione Melancolia I