Cinesi, scuola e matematica/Scheda: due problemi dai Nove capitoli dell’arte matematica (九章算术 Jiǔzhāng suànshù)

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Scheda: due problemi dai Nove capitoli dell’arte matematica (九章算术 Jiǔzhāng suànshù)
Scheda: la regola del tre Liú Xīn (刘歆)

[p. 47 modifica](Boyer, 1980)
Enunciati e soluzioni in forma moderna.

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I) Quanto è profonda una pozza d’acqua di 10 'm2 nel cui centro cresce una canna di bambù che emerge per 30 cm e che tirata verso il bordo arriva appena alla superficie?

Soluzione: si evidenzia un triangolo rettangolo come in figura, in cui l’ipotenusa a ha la lunghezza della canna, un cateto b e il raggio dello specchio della pozza, che supponiamo circolare, ed il secondo cateto c, pure ignoto, che rappresenta la profondità cercata e che soddisfa la relazione: a – c = 30 cm. Ciò significa che a = c + 30 cm. Troviamo il cateto b: sappiamo che l’area della pozza e A = di 10 m2, per la formula dell’area del cerchio e: A = 2 π b2, quindi: che approssimeremo solo alla fine per non propagare troppi errori. Adesso e il caso di fare l’equivalenza per averlo in centimetri come la differenza tra gli altri due lati: . Il teorema di Pitagora dice che: che, sostituendo con ciò che sappiamo, diviene: , cioè: . Da questa, eliminando i monomi uguali in membri opposti: , e poi con qualche calcolo:

. Questo risultato si ottiene approssimando π ≈ 3,14 e non sarebbe stato accettato dagli autori dei _ove capitoli che approssimavano piuttosto π ≈ 3. È inoltre ragionevole pensare che avrebbero trovato da ridire anche su altri punti del procedimento qui esposto.

Se invece supponiamo la pozza quadrata il cateto b sarà semplicemente metà del lato l, cioè: l2 = 10m, quindi: e dunque: . Il resto è tutto analogo, ma con conti più semplici: a2 = b2 + c2 diviene: , cioè: e quindi: [p. 48 modifica]

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II)A che altezza si è spezzata una canna di bambù alta 3 m la cui cima tocca ora il terreno ad 1 m di distanza dalla radice?

Soluzione: conosciamo un cateto c =1 m e la somma dell’ipotenusa a e di un cateto b: a + b = 3 m, quindi sappiamo che a = 3 – b. Per il teorema di Pitagora: a2 = b2 + c2 da cui: (3 – b)2 = b2 + 12. Con qualche calcolo: 9 – 6b + b2 = b2 + 1 . Elidendo i monomi uguali in membri opposti: 9 – 6b + = 1, da cui: – 6b + = 8 ed infine: . Questa è la misura del lato rimasto in piedi, ossia l’altezza richiesta a cui la canna si è spezzata.