Cinesi, scuola e matematica/Scheda: problema dal Manuale matematico delle isole marine (海岛算经 Hăidăo suànjìng)

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../Sunzǐ (孙子) IncludiIntestazione 31 marzo 2011 75% Matematica

Scheda: problema dal Manuale matematico delle isole marine (海岛算经 Hăidăo suànjìng)
Liú Huī (刘徽) Sunzǐ (孙子)

[p. 50 modifica]Enunciato e soluzione in forma moderna

Guardando un’isola nel mare, pianta due pali della stessa altezza, 3 piedi (掌 zhăng), distanti tra loro 1.000 passi (步 ) in modo che siano allineati con l’isola. Spostati di 123 passi dal palo più vicino all’isola lungo la retta che congiunge i piedi dei due pali e guarda il punto più elevato dell’isola: la punta del palo coincide con quel punto. Spostandoti indietro di 127 passi dal palo più lontano dall’isola osserva che il suo punto più elevato coincide con la punta di questo palo. Qual è allora l’altezza dell’isola e quanto dista dal palo più vicino?

Cinesi scuola e matematica imm3.png
Soluzione: la situazione può essere riassunta nel disegno qui a lato, che ricorda un’illustrazione del testo originale. I triangoli ABE ed HCE sono simili e così pure i triangoli ABF e GDF. Triangoli simili hanno eguali rapporti tra lati corrispondenti, dunque: e da cui la coppia di eguaglianze: e . Esse hanno un membro uguale e dunque si possono confrontare: . Ricordando che i due pali hanno la stessa altezza (HC = GD) si ha: . Osservando il disegno o ricordando la costruzione sappiamo che: BE = BD + CE e , BF = BC + CD + DF, da cui: in cui si è fatto sparire un 1 in ambo i membri; da ciò, con qualche passaggio: . Ora a secondo membro compaiono solo lunghezze note. Per fare i calcoli si osservi che 1 zhăng = 10 chǐ (尺 pari a circa 33 cm) e 1 = 6 chǐ, quindi 1 zhăng =3/5 : sarà più comodo mettere tutte le misure note in chǐ: HC = GD = 30 chǐ, CD = 6.000 chǐ , CE =738 chǐ, DF = 762 chǐ. La distanza tra il primo palo e l’isola è chǐ = 102 [p. 51 modifica] 150 . Per calcolare l’altezza dell’isola possiamo usare la

relazione 7.530 chǐ = 4 55 .

Si noti che benché si trattasse di triangoli rettangoli non si è fatto uso del Teorema di Pitagora. Inoltre, dato che i triangoli simili non avevano in Cina la popolarità che avevano in Grecia, il procedimento originale usato da Liú Huī si basa su considerazioni sulle aree dei triangoli citati da cui si ricavano eguaglianze e calcoli equivalenti a quelli esposti. Questo autore usa frequentemente eguaglianze tra aree dove noi useremmo piuttosto rapporti, proporzioni od altre relazioni più astratte tra grandezze lineari.