Cinesi, scuola e matematica/Scheda: problemi dal Prezioso specchio di giada dei quattro elementi (四元玉鉴 Sìyuán Yùjiàn) di Zhū Shìjié (朱世杰)

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Scheda: problemi dal Prezioso specchio di giada dei quattro elementi (四元玉鉴 Sìyuán Yùjiàn) di Zhū Shìjié (朱世杰)
Zhū Shìjié (朱世杰) Chéng Dàwèi (程大位)

[p. 64 modifica]I) Un triangolo rettangolo ha area pari a 30 passi (步 bù, qui nel senso di “passi quadrati”). La somma della base e dell’altezza (cioè rispettivamente del cateto maggiore e del minore) è di 17 passi. Quanto vale la somma della base e dell’ipotenusa?

Soluzione: detto x il cateto maggiore o base, y il minore o altezza e z l’ipotenusa sappiamo che:

da cui, eliminando la y come suggerito nella terza equazione , la seconda diviene: .

Quest’ultima è un’equazione di secondo grado con discriminante e che ammette quindi due radici: . Quindi e . Si è però detto che x è il cateto maggiore quindi consideriamo solo la soluzione tale che cioè: e . Da qui ricaviamo: . La somma che cerchiamo è dunque: .

Zhū però mostra qualcosa di più introducendo una variabile che noi indicheremmo con e che rappresenta la somma richiesta dal quesito; quest’ultima equazione può essere aggiunta al sistema di partenza (α). In tal modo: . Considerando la terza equazione del sistema la prima diviene:
.

Sappiamo però che vale l’equazione (β): da cui si ha: . Sostituendo così il termine quadratico della x nell’equazione (γ) essa diviene:
. Si raccoglie ora la x e la si ricava in funzione della w: . |} [p. 65 modifica]Sostituendo quest’ultima nella si ottiene: da cui, con qualche passaggio algebrico:

Zhū ottiene, probabilmente in questo modo, questa equazione di quarto grado in w forse con l’intento di mostrarne metodi risolutivi. Una delle quattro soluzioni di (ε) è quella trovata prima.

II) Una compagnia recluta soldati. Il primo giorno ne arruola il cubo di 3, il secondo il cubo di 4 e così via: se un giorno arruola il giorno dopo ne arruola . Quanti soldati avrà arruolato in tuto dopo 15 giorni? E dopo n giorni? Soluzione: il numero di soldati arruolati e dato dalle somme parziali della serie: in cui k rappresenta il numero dei giorni. Infatti il giorno 1 ne arruola ; il giorno 2, che con quelli del giorno prima fanno 91; e via così. Il testo scompone questa serie in altre più semplici ottenendo per il giorno n la formula: in cui sta per soldati arruolati sino al giorno n.

Un’attività interessante collegata a questo problema può essere quella di trasporlo su di un foglio elettronico. Ecco un esempio realizzato con applicativo Microsoft Excel che permette un facile controllo della correttezza della formula proposta da Zhū: [p. 66 modifica]
giorni giorni + 2 soldati del giorno
(giorni + 2)³
soldati totali FORMULA
1 3 27 27 27
2 4 64 91 91
3 5 125 216 216
4 6 216 432 432
5 7 343 775 775
6 8 512 1287 1287
7 9 729 2016 2016
8 10 1000 3016 3016
9 11 1331 4347 4347
10 12 1728 6075 6075
11 13 2197 8272 8272
12 14 2744 11016 11016
13 15 3375 14391 14391
14 16 4096 18487 18487
15 17 4913 23400 23400
16 18 5832 29232 29232
17 19 6859 36091 36091
18 20 8000 44091 44091
19 21 9261 53352 53352
20 22 10648 64000 64000