Della architettura della pittura e della statua/Della architettura/Libro nono – Cap. VI

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Libro nono – Cap. VI

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De la corrispondenza de’ numeri, del misurare le piante, et del modo de la regola del terminare che non è naturale nè de le armonie, nè de’ corpi.

cap. vi.


DI questi adunque habbiamo a trattare. Ma prima di quelle piante nelle quali i Diametri si adattano a duoi a duoi: le piante sono o piccole, o grandi, o mediocri; la minor di tutte è la quadrata, de la quale qual tu ti voglia lato è lungo a un modo, et corrispondonsi l’un a l’altro, con angoli tutti a squadra. La più vicina a questa è la sesquialtera; et la sesquitertia ancora si annovererà infra le piante minori. Queste tre si fatte corrispondentie adunque, le quali noi chiamiamo ancora semplici, si convengono alle piante piccole. A le piante ancor mediocri se ne convengono parimente tre altre; la ottima di tutte è la Dupla, et la vicina a questa è quella, che si fa de la sesquialtera duplicata, la quale si fà certamente in questo modo: Disegnato il minor numero de la pianta, come s’è a dire quattro, si allunga la prima sesquialtera, et sarà sei, aggiugni ancora un’altra volta a questa l’altra sesquialtera di quella sesta, et diventerà nove. Eccederà adunque la maggiore lunghezza in questo luogo la minore, per il doppio, et un tuono più di esso doppio.


4 0000 ) sesquialtera
6 000000
9 000000000 ) sesquialtera


Alle mediocri ancora si appartiene quella, nella quale piglierai due volte la sesquitertia col medesimo ordine come nella passata. Sarà adunque la linea minore di questa ripresa produzione, come s’è a dir nove, et la lunga sediti.


9 000000000 ) sesquitertia
11 00000000000 ) sesquitertia


Adunque questa linea maggiore è superata dal doppio de la minore manco un tuono. Nelle piante maggiori si tiene questa regola; conciosia che o e’ si accozza la dupla con la sesquialtera, et fassi tripla, o e’ si accozza alla dupla la sesquitertia, et diventano gli ultimi numeri come tre et otto, o veramente e’ si pigliano, che i diametri corrispondino l’uno a l’altro per il quadruplo. Habbiamo detto de le piante minori, nelle quali i numeri corrispondino ugualmente l’uno a l’altro, o come dua a tre, o come tre a quattro; et de le [p. 234 modifica]piante mediocri, nelle quali i numeri si corrispondono per dupla, o come il quattro al nove, o come il nove al sedici. Nell’ultimo luogo habbiamo trattato de le più lunghe, et maggiori, ne le quali i numeri si corrispondono per triple, o per quadruple, o come il tre allo otto. Congiugneremo insieme i diametri di qual si voglia corpo in terzo per dir cosi con questi numeri, i qual sono o innati, o congiunti con esse armonie, o veramente presi d’altronde con certo ordine, et regola determinata. Nelle armonie sono i numeri de le corrispondentie, de quali si fanno le proportioni di quelle, come nella dupla, nella tripla, et nella quadrupla. La dupla certamente si fà de la sesquialtera semplice, alla quale ancora si aggiunga la sesquitertia, et l’essempio è questo. Sia il numero minore de la dupla due, aggiugni a questo secondo l’ordine de la sesquialtera il numero ternario, et da questo ternario ancora, secondo la sesquitertia producerai, et harai il quaternario, il quale medesimo numero doppio al numero del due.


Dupla 00 ) sesquialtera
000
0000 ) sesquialtera


O veramente si fà il medesimo in questo modo: Sia verbigratia il minor numero tre, io gli aggiungo per una sesquitertia, et diventa quattro: aggiungo a questo quattro una sesquialtera, et diventerà sei, il quale referendosi al tre fà appunto una dupla.


Dupla 000 ) sesquialtera
0000
000000 ) sesquialtera


La tripla ancora si fà de la doppia et de la sesquialtera congiunte insieme. Si verbigratia il numero minore in questo luogo due, questo addoppiandolo diventerà quattro, aggiungo à questo una sesquialtera, et diventerà sei, il qual numero del sei risponde al dua per tripla.


Tripla 00 ) duplicata
0000
000000 ) sesquialtera


O veramente il medesimo si fà in questo modo: Posto il medesimo numero del due per minore, piglia la sesquialtera, et harai tre, raddoppia dipoi il numero tre, et haremo sei, che ’n terzo corrisponde al due.


Tripla 00 ) sesquialtera
000
000000 ) addoppiata


Con quelle stesse estensioni si produce la quadrupla con le quali si compone la dupla, aggiunto à quelle l’altra dupla; conciosia che questa si fà de la dupla addoppiata, la quale si chiama ancora disdiapason, et si fa in questo modo. Sia verbigratia il minor numero in questo luogo il due; addoppio questo, et diventa diapason, cioè, quattro che risponde come quattro à due; raddoppia ancora questo altro, et diventa disdiapason, nel qual risponde l’otto al due.


Quadrupla 00 ) diapason
0000
00000000 ) disdiapason
[p. 235 modifica]Questa quadrupla si compone ancora, aggiunto alla dupla una sesquialtera, et insieme una sesquitertia, et come questo si faccia si vede manifesto per le cose che dicemmo poco fà: ma accioche venga più esplicata, porremola più aperta: posto verbigratia il due per la sesquialtera diventerà tre, il qual tre per una sesquitertia diventerà quattro, il qual quattro addoppiandolo diventerà otto.
Quadrupla 00
000 ) sesquialtera
0000 ) sesquitertia
00000000 ) adddoppiata


O più tosto in questo modo: percioche posto il numero tre, da lo addoppiarlo diventa sei, al quale sei aggiugnerai l’altra parte di se stessa, et diventerà nove, aggiugnici a questa un terzo, et diventa dodici, il qual dodici corrisponde al suo minimo, che è il tre per quadrupla.


Quadrupla 000
000000 ) addoppiata
00000000000 ) rinterzata
00000000000000 ) rinterzata


Di questi numeri che noi habbiamo racconti, si servono gli Architettori non confusamente, ne alla mescolata, ma in modo che corrispondino, et consentono da ogni banda alla armonia, come se alcuno volesse alzare le mura d’una stanza forse che fusse il doppio più lunga che larga, servasi in questa non di quelle corrispondentie con le quali si fa la tripla, ma solamente di quelle de le quali si compone essa dupla; et il medesimo si faccia de la stanza che fusse lunga per tre larghezze, servendosi ancor in essa de le sue corrispondentie, et non usi altro che le sue proprie. Si che terminerà i diametri con numeri rinterzati come dicemmo; accioche e’ s’accorga che nel suo lavoro e’ verranno più accommodati, et nel terminare i diametri ci sono ancora certe naturali corrispondentie, le quali non si possono mai terminare con numeri, ma si pigliono da le radici, et da le potentie loro. Le radici sono i lati de numeri quadrati, et le potentie sono le piante di essi quadrati. De lo accrescere de le piante si fanno i cubi; il primo de cubi la radice del quale è lo uno, è consecrato alla divinità, conciosia che essendo prodotto da lo uno, et da ogni parte, et per ogni verso uno: aggiugnecisi che e’ dicono che egli è il più stabile di tutte le figure, et collante, et da dovere parimente stare in ogni imbasamento; Ma se esso uno, o unità non è numero, ma è quello, o da cui nascono, o che in se contiene tutti i numeri, ci sarà forse lecito dire, che la qualità sia il primo numero. Da questa radice si fa la pianta in quattro, la quale chi la harà ritta in alto, al pari de la sua radice farà il cubo ottonario, et da questo cubo cosi fatto si cavano le regole de le determinationi. Percioche inanzi tratto in questo luogo ci si offera esso lato del buco, che si chiama radice cubica. La pianta del quale in quanto a’ numeri è quattro, et il pieno, o lo intero del cubo è otto: a queste cose ancora ci è aggiunta la linea, che và da uno angolo a l’altro diritta, la quale divide in due parti uguali la pianta del quadrato, et si chiama il diametro, et quanto questa sia per numero non si sà. Ma si sà bene che ella è la radice d’una pianta che per ogni lato è otto, et ecci oltra questo il diametro del cubo, il quale noi sappiamo certamente che è radice de la pianta che per ogni lato è dodici (Fig. 1.) Ultimamente e’ si trova una linea maggiore in quel triangolo che habbia l’angolo a squadra, del quale uno de lati minori che fanno l’angolo retto, sia la radice de la pianta che per ogni lato è quattro, et l’altro lato sia la radice de la pianta che per ogni lato è [p. 236 modifica]dodici, la qual linea maggiore distesa rincontro allo angolo retto, sarà la radice de la pianta che per ogni lato è sedici. (Fig. 2.) Tali quali noi habbiamo racconto adunque nel terminare i diametri sono le naturali, et proprie corrispondentie de numeri, et de le quantità, et si debbon tutti questi usare in questo modo, che la linea minore serva per la larghezza de la pianta, et la maggiore per la lunghezza; et la mezana per la altezza: ma alcuna volta secondo la commodità de gli edificii si tramutano. Ma hora habbiamo da trattare de la regola de la dererminatione, che non è naturale, ne congiunta con le armonie, et con i corpi, ma presa daltronde; la quale serve à congiugnere insieme i diametri, in terzo. Certamente che e’ ci sono certe annotationi molto commode dell’accomodare in opera, i tre diametri, cavate si da Musici, si ancora da Geometri, et da li Aritmetici, le quali ci gioverà di riconoscere. I Filosofi le chiamarono mediocritati. La regola loro è molta, et varia, et di molte maniere. Ma del pigliare le mediocritati sono appresso de savi tre i modi: il fine di tutti è che posti i duoi estremi, il numero mezano si debbe porre correspondente a già duoi posti con certo determinato ordine et regola, cioè per dir cosi che egli habbia insieme una certa parentela: in questa discussione ricerchian noi tre termimi, l’uno de quali sia da questo lato grandissimo, et l’altro dall’altro lato minore, et il terzo sia infra ’l mezo d’ambe duoi, corrispondendo all’uno, et all’altro di pari intervalli, et ne quali questo intervallo del mezo col suo numero stia ugualmente lontano dall’uno, et dall’altro. De le tre maniere, le quali i Filosofi lodano più che le altre, la mediocre è facilissima ad esser trovata, la quale e’ chiamano aritmetica, che dati i duoi estremi termini de numeri, cioè sia di quà il maggiore, verbigratia otto et arrincontro il minore, verbigratia quattro, raccogli questi insieme faranno dodici, la qual somma divisa in due parti, ne piglierò una, la quale farà sei.

8 4
1 2
6


Questo numero del sei dicono gli Aritmetici, che è la mediocrità, la quale posta nel mezo infra il quarto, et lo otto, sta parimente lontana dall’una, et da la altra.

8 6 4


Ecci l’altra mediocrità, che e’ chiamano Geometrica, la quale si piglia in questo modo: il numero minore verbigratia quattro, si multiplica per il suo, maggior numero che sia verbigratia nove; di questa multiplicatione ne resulta 36. La radice de la qual somma come e’ dicono, cioè il numero del lato multiplicata in se stessa debbe ancor ella fare, et arrivare al numero 36. sarà, adunque questa radice sei, conciosia che multiplicato 6. vie 6, ne risulta 36.

4. vie 9. 36.
6. vie 6. 36.


Questa mediocrità Geometrica è molto difficile à ritrovarla per tutto con i numeri; per via di linee si esplica molto bene, de le quali non mi accade parlare in questo luogo. La terza mediocrità che si chiama Musicale, è alquanto più faticosa de la Aritmetica, nondimeno si diffinice benissimo per via di numeri. La proportione in questa che è dal piccolo al grande de termini posti, bisogna che corrisponda à le distantie dal minore al mediocre, et dal mediocre al maggiore, et eccone lo esempio. Sia per esempio il numero minore trenta, et il maggiore sessanta; questi in questo luogo sono per il doppio l’uno all’altro. Io piglio adunque i numeri che nella dupla non possono esser minori, i [p. 237 modifica]quali son questi, da questo lato l’uno, et da questo altro il dua, che congiunti insieme fanno 3. Divido dipoi tutto quello intervallo, che fù infra il numero maggiore, che fu sessanta, et il minore che fu trenta, in tre parti; farà dunque qual si è l’una di queste parti, dieci, et perciò ne aggiugnerò una di queste che farà dieci, alla parte minore, et diventeranno quaranta, et questa sarà la mediocrità musicale che si ricerca.

30 60
1 2
3
3 30
10
30
10
30. 40. 60.


La quale sarà lontana dal numero maggiore per il doppio di quello intervallo, per il quale esso numero de la mediocrità è lontano dal numero minore; et havevamo presupposto che il numero maggiore dovesse corrispondere al minore con questa proportione. Con queste mediocrità gli Architettori et circa tutto lo edificio, et circa le membra di quello, hanno trovato molte cose eccellenti, che sarieno lunghe a raccontarle, et si sono molto serviti di queste simili mediocrità per diametri de la altezza.