Fabrica et uso del compasso polimetro/Parte Prima/Delle linee per i lati de poligoni regulari uguali d'area. Cap. III.
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DELLE LINEE
PER I LATI DE POLIGONI REGULARI
UGUALI D'AREA.
CAP. III.
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uno de quali13. del sesto CD sia diviso per mezzo in F, è trovata frà la perpendicolare EF17. del sesto, e la FD la G media pportionale; questa sarà il lato del quadrato uguale al triangolo CDE, essendo l’uno, e l’altro di essi, uguale al rettangolo EFD, onde posta dal punto A, la AH uguale alla G, si haverà nella AB il punto H
da contrasegnarsi con cosa, che lo faccia riconoscere per termine del quadrato.
Per il cerchio, sia di quelle parti, che la G, n’è undici, la K quattordici, e frà le G, e K, la L media proportionale; Questa sarà il diametro d’un cerchio uguale (cioè prossimo) al quadrato G, e in conseguenza al triangolo CDE. Perche come la linea G alla linea K, cioè come undici à cor. alla 20. del sesto quattordici, così il quadrato G, al quadrato L: mà il cerchio del quale L è diametro, al medesimo quadrato L hà l’istessa proportione; dunque 3. d’Archim. de dim. cir. il quadrato G, e il cerchio L faranno frà loro uguali; si che fatta alla L, uguale dal punto A, 9. del quinto. la AM, si notarà il punto M, ò con un cerchietto, ò con altra cosa che lo significhi.
Per il pentagono, descrivasene uno equilatero 9. del quarto., e equiangolo di qual si voglia grandezza, e dal punto I in mezzo di esso a i termini d’uno de suoi lati NO, siano tirate le linee rette IN, IO, e la IP perpendicolare alla NO, sarà il triangolo INO la quinta parte del detto pentagono. Dividasi parimente un lato CD del sopradetto triangolo equilatero in cinque parti uguali, una delle quali sia QR, sarà congiunto il punto E coi punti QR, anche il triangolo EQR, la Prima del sesto. quinta parte di tutto il trinagolo CDE. Hor facciasi, che la proportione che hà la perpendicolare 12. del sesto. IP, al lato NO, habbia la perpendicolare EF ad’un’altra S, e frà le due QR, e S sia media proportionale la T: questa dico essere il 13. del sesto. lato del pentagono uguale al triangolo CDE, e per conseguenza all’altre figure segnate sin’hora nella AB. Sia per la dimostrazione fatta alla T18. del sesto. uguale la VX, e in essa il triangolo VXY, simile al triangolo INO, in modo tale, che al lato NO, corrisponda il lato VX, e fatta cadere dall’angolo Y, la YZ perpendicolare sopra la VX; sarà
per la somiglianza de triangoli INO, YVX 4. del sesto come la IP alla NO, così YZ alla VX: mà come IP, ad NO, così è stata fatta EF, alla S, dunque EF, ad S, farà come YZ, ad VX, oltre à ciò, perche S, à T, cioè alla VX, che gli è uguale, hà la stessa proportione, che la medesima VX, cioè T alla QR: farà per l’ugual proportione, EF, 22. del quinto ad VX, come la YZ, alla QR; laonde rispondendosi ne i triangoli EQR, VXY, reciprocamente le altezze con le basi, faranno frà loro uguali; e 14. del sestoperciò cinque triangoli VXZ, saranno uguali à tutto il triangolo CED: mà cinque triangoli VXY, formano un pentagono equilatero, e equiangolo, per la somiglianza che hà col triangolo INO, dunque il lato VX, che risponde al lato NO, sarà quello che si desiderava trovare. La grandezza sua si registrarà come le altre nella AB, dal punto A, facendo un segno nel suo termine, che denoti il pentagono. Et così si farà ancora in quelli de i lati dell’altre figure trovati col’istesso ordine, e modo che s’è fatto in questo pentagono, e segnate le due dell’instrumento con la regola del triangolo detta nel primo capitolo haveremo conseguito quanto si desiderava; impercioche se si aprirà il compasso in modo, che dall’uno, e l’altro punto, dove sono i segni, ò del triangolo, ò del quadrato, ò di qual si voglia altra figura, vi sia un’intervallo uguale al lato d’una proposta figura, della medesima specie, gl’altri intervalli faranno i lati d’altre figure uguali à quella. Essendo che la linea dal centro al punto (per esempio) del triangolo, alla linea dal medesimo centro al punto del 4. del sesto pentagono, habbia la stessa proportione, che lo spatio frà tutti due i punti del triangolo, à quello frà tutti i due punti del pentagono, e la figura fatta dalla prima di queste quattro, à quella fatta dalla terza simile, e similmente descritta, cioè amendue i triangoli equilateri habbia la stessa proporzione à quella fatta dalla seconda simile à quella fatta dalla quarta, 22. del sesto. 16. del quinto. 14. del quinto cioè amendue i pentagoni, et permutandosi, perche la prima è uguale alla seconda, anco la terza sarà uguale alla quarta che è quello che si era proposto dimostrare.
Queste trè sorti di linee per le rette, per le circonferenze, e per le superficie si haveranno da segnare da una banda del compasso, per lasciare l’altra, per trè altre, le quali haveranno da servire per i solidi.