Il Metodo di Archimede/Parte I/3
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3.- La polemica di Zenone d’Elea.
L’importanza della critica di Parmenide fu posta efficacemente in evidenza del suo discepolo Zenone (che era di venticinque anni più giovane del suo maestro).
L’opera di Zenone fu tutta dedicata a difendere la tesi del suo maestro circa l’unità o continuità dell’esistente (ἔν εἶναι τò πᾱν) contro i sostenitori della tesi della pluralità (πολλά ὲστι τά ὄντα), derivata dall’ipotesi monadica dei Pitagorici. La sua lotta fu di un’efficacia straordinaria; i suoi argomenti fanno testimonianza di un’abilità dialettica di primo ordine, degna veramente di colui che Aristotele considerava come inventore della logica. Questi argomenti, che per molto tempo furono stranamente
fraintesi e calunniati come paralogismi, hanno riacquistato finalmente il loro significato e rientrano ora fra i documenti più importanti per la storia delle matematiche (e ciò per merito del Tannery, la cui geniale ricostruzione fu nuovamente propugnata e in alcuni punti perfezionata dall’Enriques).
Gli argomenti di Zenone appariscono come riduzioni all’assurdo dell’ipotesi pitagorica e costituiscono un formidabile dilemma, che stringe l’avversario senza possibilità di scampo.
Le premesse dell’argomentazione zenonica bisogna ricercarle nella teoria parmenidea, in proposizioni come queste: ciò che veramente esiste deve essere anche pensabile senza contraddizione, e ciò che si pensa deve pur corrispondere a qualcosa che esiste. Il non-ente, il vuoto, il nulla non può esistere.
Fr. 5 (Diels, pag. 152): chè la stessa cosa è pensare ed essere.
Fr. 6 (pag. 153): il niente non è possibile.
Fr. 8 (pag. 156): E esso [l’esistente, lo spazio] neppure è diviso, perchè è tutto omogeneo; nè vi è qualche cosa più forte che possa impedire la sua connessione, nè qualche cosa più debole; è tutto riempito di cose esistenti. Perciò è tutto continuo: chè un ente è strettamente vicino a un altro ente.
Riassumiamo ora brevemente i famosi argomenti, e in primo luogo quelli diretti in generale a mettere in luce le contraddizioni racchiuse nell’ipotesi della pluralità.
1° Argomentando per assurdo, Zenone fa vedere come ammettendo le grandezze geometriche costituite di elementi indivisibili ed estesi, queste grandezze dovrebbero essere nello stesso tempo «piccole e grandi: piccole fino a non aver grandezza alcuna, grandi fino ad essere infinite».
Infatti, se una cosa è indivisibile, non ha parti, e quindi è priva di grandezza. Allora, se essa si aggiunge a un’altra cosa, non rende questa più grande; se si toglie da un’altra cosa, non rende questa più piccola. Perciò essa non appartiene agli enti, è nulla.
Dunque una grandezza composta di elementi indivisibili, comunque grande sia il loro numero, non può
| essere che una grandezza nulla.
Ne segue che se una grandezza (sensibile) è composta di elementi, è necessario che questi abbiano anch’essi una certa grandezza.
Ma nell’ipotesi della pluralità ciascuno degli elementi che compongono una data grandezza deve essere separato da ciascuno degli altri mediante qualche
altro elemento. (Il vuoto non esiste). Così tra questo elemento e il suo precedente vi deve essere qualche altro elemento; e così indefinitamente.
Quindi ogni grandezza sarebbe composta di un numero infinito di elementi, e quindi dovrebbe essere infinitamente grande.
Dunque l’ipotesi della pluralità è assurda.
Simplicio (in Diels, pag. 174): Nel suo scritto, che contiene molti ragionamenti, Zenone dimostra in ciascuno di essi che chi sostiene esservi pluralità, dice cose contraddittorie. Uno di tali ragionamenti è questo, in cui dimostra che se le cose sono pluralità, esse sono anche grandi e piccole; grandi sino ad essere infinitamente grandi, e tanto piccole da non aver grandezza alcuna. A tale scopo egli dimostra che ciò che non ha nè grandezza, nè spessore, nè volume, è nulla.
«Infatti — dice — se si aggiunge a un altro ente non lo rende per nulla più grande. Poichè, non avendo grandezza alcuna, se sì aggiunge a un’altra cosa, questa non può acquistar nulla in grandezza. E così, manifestamente, ciò che si è aggiunto sarebbe nulla. Se poi, sottraendolo l’altra cosa non diventerà per nulla più piccola, nè di nuovo aggiungendolo diventerà più grande, è chiaro che ciò che si è aggiunto, come anche ciò che si è tolto, era nulla».
Aristotele, Metaph., II, 4: 1001 b 7: Inoltre se la ‘stessa unità è indivisibile, secondo l’assioma di Zenone sarebbe nulla. Essa infatti nè se si aggiunge, nè se si toglie rende maggiore o minore una cosa particolare, ecc. ecc.
Simplicio (Diels, pag. 173): Avendo prima dimostrato che se l’ente non ha grandezza non può esistere, aggiunse:
«Se esiste, è necessario che ciascuna delle sue parti abbia una certa grandezza e spessore, e che ognuna di esse abbia una certa distanza da un’altra. E lo stesso si può dire di quella che la precede. E questa che la precede avrà essa stessa una certa grandezza e sarà preceduta da qualche altra parte. Ciò che si è detto una volta, si potrà sempre ripetere; chè nessuna di tali parti sarà l’ultima, e non vi sarà nessuna parte che non contenga altre parti. Cosicchè, se vi è pluralità, è necessario che le cose sieno piccole e grandi; piccole tanto da non aver grandezza alcuna, grandi tanto da essere infinite».
2° La ipotesi della pluralità conduce a un’altra contraddizione, e cioè che una stessa cosa sarebbe insieme finita e infinita.
Infatti, dire che una grandezza è composta di elementi, significa ammettere implicitamente che il numero di questi è limitato, e che due elementi qualunque son separati da un certo intervallo. Ma anche questo è composto di altri elementi; dimodochè fra due elementi comunque vicini esistono altri elementi; e altri fra questi, e così in infinito. Quindi la stessa grandezza sarebbe composta anche di un numero infinito di elementi.
Dunque la stessa cosa sarebbe finita e infinita (limitata e illimitata).
Ma questo è assurdo. Dunque è assurda l’ipotesi della pluralità.
Simplicio (Diels, pag. 175): Infatti volendo nuovamente dimostrare che se vi è pluralità, le stesse cose sarebbero finite e infinite, Zenone scrive testualmente così:
«Se vi è pluralità, è necessario che le cose siano tante quante sono, nè più nè meno. Se sono tante quante sono, esse devono essere finite [di numero].
«Ma se vi è pluralità, le cose sono infinite [di numero]; giacchè fra le singole cose ve ne sono sempre delle altre, e ancora altre fra queste. E perciò le cose sono infinite».
E in questo modo dimostrò l’infinito secondo moltitudine, mediante la dicotomia.
Non sappiamo se l’abile dialettico, dopo la demolizione della tesi avversaria, abbia tentato la ricostruzione della teoria che doveva sostituirla. Ma questa del resto è già contenuta nella dottrina del suo maestro Parmenide e i suoi stessi argomenti la suggeriscono.
Se è assurda l’ipotesi della pluralità, è necessario ammettere la tesi della continuità dello spazio e delle grandezze geometriche. Se un elemento ultimo
indivisibile delle grandezze è inconcepibile, bisogna ritenere che ogni grandezza ammette una divisibilità senza limiti, una divisibilità infinita.
L’intento principale della potente argomentazione può dirsi che consista nella negazione della estensione attribuita al «punto». Così Aristotele e i Commentatori la riassumono dicendo che Zenone riteneva il punto «non appartenere agli enti», nel senso che negava essere il punto una cosa sensibile, realmente esistente. Nel suo pensiero il punto doveva considerarsi come un ente privo di ogni grandezza, come una cosa puramente intelligibile. E questo non è che una conferma della critica parmenidea.
Qui però è da osservare che non sarebbe esatto affermare che egli intendesse di mostrare che il punto è «nulla». Piuttosto è da ritenere che egli riconobbe chiaramente come, proseguendo la divisione di una grandezza, le parti che si ottengono sono sempre più piccole, e che non vi è un termine alla diminuzione. Quindi il punto doveva apparire come una cosa più piccola di qualsiasi altra cosa piccola ad arbitrio, e cioè come infinitamente piccolo. Si capisce così il valore dell’osservazione che aggiunse Simplicio alla fine del secondo degli argomenti su riportati: «e in
questo modo mostrò l’infinito secondo moltitudine mediante la dicotomia», che indica uno dei modi legittimi di considerare una grandezza come somma di un numero infinito di elementi. Ancora una volta possiamo dunque rilevare come dalla critica dei principii della geometria nasce il concetto dell’«infinitesimo» e la prima idea del procedimento infinitesimale.
Alla stessa polemica contro la pluralità si possono riattaccare due degli argomenti di Zenone sul movimento, i quali con esempi più concreti e in una forma un po’ più paradossale hanno lo scopo di manifestare nuove contraddizioni in cui cadono i sostenitori della tesi combattuta. Di più, essi hanno un significato matematico preciso, che conviene mettere in evidenza.
1° Un punto moventesi, per esempio, sopra una retta non può passare da un punto A della stessa retta a un altro punto B, perchè dovrebbe passare prima per il punto medio C del segmento A B, e poi per il punto medio del segmento C B, e così all’infinito.
2° Achille — velocissimo — non può raggiungere nella corsa la tartaruga — lentissima — sol che le dia
un certo vantaggio. Infatti, se si pone Achille in e la tartaruga in , e si ammette che Achille corra, per esempio, con una velocità volte più grande, egli dovrà prima andare da in , e frattanto la tartaruga andrà da ad un punto (posto ad una distanza da uguale all’ parte di ), e poi da a , mentre la tartaruga sarà passata già ad un altro punto ; e così all’infinito.
Aristotele, Phys., VI, 9, 239 b 9: «Quattro sono gli argomenti di Zenone riguardanti il movimento, la cui interpretazione offre delle difficoltà. Il primo è quello riguardante la impossibilità del movimento per il fatto che il mobile dovrebbe raggiungere la metà prima di raggiungere la fine».
«Il secondo (argomento) è il cosidetto Achille, e consiste in questo, che il più tardo corridore non sarà mai raggiunto nella corsa dal più veloce; giacchè sarebbe necessario che colui che insegue arrivi prima al punto donde parti quello che fugge, di modo che il più lento avrà sempre necessariamente qualche vantaggio. Anche questo argomento consiste nella dicotomia; ma ha di speciale che non divide la grandezza data in due parti uguali».
In questi argomenti non si vuol negare la possibilità del movimento, ma la sua inconciliabilità con
l’ipotesi monadica dello spazio. In tale ipotesi, infatti, per andare da un punto A a un punto B bisognerebbe attraversare infiniti altri punti, e cioè infiniti segmenti, ciascuno dei quali avrebbe una lunghezza, sia pur minima, ma sempre finita. Quindi per andare da A a B bisognerebbe percorrere un numero infinito di segmenti finiti, e cioè una lunghezza infinita. Lo stesso dovrebbe fare Achille per raggiungere la tartaruga.
Così, dunque, appare impossibile il moto nella concezione monadica dello spazio, e il motivo di questa impossibilità sembra essere riposto da Zenone nel duplice fatto:
1° che in quella concezione ogni segmento dovrebbe essere una somma di un numero infinito di altri segmenti;
2° e che ognuno di questi segmenti dovrebbe avere una lunghezza finita, maggiore sempre di un minimo (delle dimensioni cioè del punto, o dell’intervallo fra due punti contigui).
Attraverso la forma negativa, con cui è giunta a noi la critica zenoniana, non è difficile ricavare il suo valore positivo. Traspare già in essa un principio che assumerà ben presto un’importanza fondamentale
nell’ulteriore elaborazione della scienza matematica; essa infatti conduce ad ammettere che:
Un segmento si può decomporre in un numero infinito di parti, dividendolo (per esempio) successivamente in 2, in 4,... parti uguali; queste parti diminuiscono continuamente fino a diventare più piccole di qualsiasi altro segmento, piccolo a piacere.
Ora è questo principio che, come si vedrà in seguito, ha servito ad Eudosso per fondare la sua teoria dei rapporti incommensurabili, superando con questa l’ostacolo dell’incommensurabilità, che minacciò i progressi della geometria pitagorica, e per stabilire il metodo d’esaustione. Onde non è esagerato affermare che la critica di Zenone prelude ai metodi dell’Analisi infinitesimale.
Si deve inoltre osservare che i due argomenti precedenti pongono il problema della somma di una progressione geometrica infinita. É precisamente il primo ricorda la possibilità di decomporre una grandezza in un numero infinito di parti, mediante la dicotomia; in parti cioè corrispondenti ai termini della serie
Il secondo conduce invece a una progressione geometrica qualsiasi
e indica perciò come in quell’epoca si sapesse già calcolare la somma di una tale serie. Anzi riteniamo (con lo Zeuthen) che la soluzione di questo problema sia un altro effetto della critica eleatica, e che essa possa attribuirsi o allo stesso Zenone, o a qualche suo avversario ([1]).
- ↑ H. G. Zeuthen, Histoire des Mathématiques dans l’Antiquité, pag. 54.