Il Metodo di Archimede/Parte I/8
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Ma questo è assurdo, perchè per costruzione è
Dunque non può essere
Dunque deve essere
8. — Osservazioni sul metodo di esaustione.
Le dimostrazioni delle XII. 2, 5 e 10 procedono su uno schema comune, che serve di modello anche per le dimostrazioni di altre proposizioni dello stesso libro (come le
XII. 11: «Iconieicilindri che sono della stessa altezza stanno fra loro come le loro basi»;
XII. 12: «Coni e cilindri simili stanno fra loro nel rapporto triplicato [come i cubi] dei diametri delle loro basi»).
Questa coincidenza non può essere stata: casuale, deve essere stata voluta dal loro Autore; essa mostra come a ragione si sia voluto vedere in quelle dimostrazioni delineato un metodo di dimostrazione, che segue regole determinate e suppone certi principii, e precisamente il metodo di dimostrazione per esaustione.
Diciamo di più: l’uniformità delle dimostrazioni non può che derivare da un metodo uniforme di ricerca e di scoperta. Quantunque nella forma rigorosamente sintetica, le dimostrazioni stesse conservano le traccie di questo metodo. A base di esse si ritrova infatti un procedimento infinitesimale, che corrisponde all’odierno metodo delle serie convergenti.
Così nella XII. 2 il cerchio è rappresentato con la serie indefinitamente crescente dei poligoni regolari inscritti di 4, 4.2, 4.2², ... lati. Ciascuno di questi poligoni rappresenta un valore approssimato per difetto del cerchio; e il difetto può farsi tanto piccolo quanto si vuole aumentando continuamente il numero dei lati del poligono stesso. La X. I assicurava la convergenza della serie; in tal modo il sofisma di Antifonte veniva corretto da un’argomentazione rigorosa. |
Si avevano così le condizioni per concludere che il limite della serie stessa, quando il numero dei lati divenisse infinitamente grande, era il cerchio.
Analoghe considerazioni valgono per il caso della piramide e del cono.
Ma le dimostrazioni di Euclide (Eudosso) evitano questo passaggio al limite, ed escludono ogni diretta considerazione infinitesimale. Della convergenza della serie esse approfittano solo per affermare che si può inscrivere nel cerchio un poligono, la cui differenza del cerchio stesso sia più piccola di qualunque altra grandezza assegnata.
Il resto della dimostrazione non è che una riduzione all’assurdo della tesi contraria. La quale, per altro, non si ottiene che in base all’accennata possibilità di inscrivere un poligono che differisca dal cerchio di tanto poco quanto si vuole.
La riduzione all’assurdo si poteva evitare se fosse stato ammesso il concetto di limite. Ma la critica dei concetti infinitesimali non aveva ancora raggiunto quell’alto grado di sviluppo che consentiva di dare di esso una definizione chiara e precisa, atta ad evitare tutti gli equivoci. Perciò fu escluso come mezzo di dimostrazione, sebbene forse non si possa negare che sia stato presentito ed adoperato nelle ricerche, sia pure in una forma tutt’affatto semplice ed intuitiva.
Per meglio valutare la portata del metodo eudossiano di fronte ai metodi introdotti dalla critica moderna nel Calcolo infinitesimale aggiungeremo un’osservazione già fatta dall’Enriques (Sul procedimento di riduzione all’assurdo).
Per i geometri greci era evidente che ogni figura aveva la sua area o il suo volume. Per dimostrare che l’area o il volume di una certa figura è uguale ad una area o a un volume , essi dimostravano che non poteva essere ≷ , facendo vedere che qualunque differenza si supponesse tra e , questa doveva essere minore di qualsiasi grandezza arbitraria. La forma negativa che assumono queste dimostrazioni sembra imposta soltanto dall’esigenza di evitare il concetto dell’infinito: sebbene un più libero impiego di tale concetto sia un presupposto necessario delle ricerche preliminari tendenti a determinare la grandezza .
Nella geometria moderna si premettcno invece delle proposizioni esistenziali basate sul principio di continuità, mediante il quale si dimostra che una certa serie di poligoni o di poliedri ammette un limite, il quale vien definito come l’area o il volume cercato. In queste dimostrazioni il ragionamento indiretto per assurdo viene evitato, ma solo in apparenza; giacchè esso figura sempre come un presupposto della definizione adottata.
In sostanza nei procedimenti moderni e negli antichi ogni ragionamento sull’infinito o sull’infinitesimo viene ricondotto alla considerazione di un sistema di disuguaglianze. Il criterio filosofico che ispira gli uni e gli altri si può dire identico; ma bisogna riconoscere che i moderni prevalgono sugli antichi per una assai maggior larghezza e facilità di applicazione.
Per quanto riguarda i risultati contenuti nelle proposizioni di cui trattiamo, essi appaiono fondati sopra un principio che, in termini moderni, potremmo enunciare nel modo seguente:
Se gli elementi corrispondenti di due serie convergenti stanno fra loro in un rapporto costante, anche i limiti delle due serie stanno fra loro nello stesso rapporto ([1]).
Le XII. 1 e 2 contengono la verifica di questo principio per il caso dei poligoni inscritti in due cerchi dati; le XII. 3, 4 e 5 per il caso delle somme dei prismi che si ottengono nelle successive divisioni della piramide; le XII. 10 per il caso delle piramidi e dei prismi inscritti rispettivamente in un cono e in un cilindro della stessa base e della stessa altezza.
Si capisce come, data una dimostrazione generale di quel principio, si sarebbero potute dimostrare in una maniera semplice e diretta tutte le citate proposizioni.
Tutto questo fu già avvertito da Luca Valerio (1552-1618), il quale servendosi appunto di un principio identico a quello sopra indicato, ravvivò con un soffio di vita nuova la geometria degli antichi, preludendo alla moderna teoria dei limiti.
Credo utile riportare qui la prop. VI del libro II dell’opera De centro gravitatis solidorum (Roma 1604): «Si maior vel minor prima, ad una maiorem vel minorem secunda, minori excessu vel defectu quantacumque magnitudine proposita, nominatam habuerit proportionem; prima ad secundam eandem nominatam habuerit proportionem ». Cioè: «Se una grandezza () maggiore o minore di una prima grandezza () ha sempre un dato rapporto () con un’altra grandezza (), la quale sia nello stesso tempo maggiore o minore di una seconda grandezza (), e supposto che l’eccesso o il difetto possa essere minore di qualsiasi grandezza data; allora il rapporto fra la prima e la seconda () è uguale al rapporto dato ()». In linguaggio più moderno potremmo enunciare la stessa proposizione nel modo seguente: Date le grandezze , costanti, e le variabili F tali che le differenze e , oppure e , siano contemporaneamente inferiori a una grandezza qualsiasi data piccola ad arbitrio, se è sempre
sarà anche
In altri termini, se
e se è sempre
sarà anche
Ma l'analisi dei Greci non raggiunse mai un grado così elevato. Ciò aumentava non poco le difficoltà delle loro ricerche, in quanto che per ogni caso si richiedeva una dimostrazione speciale. Il metodo di esaustione diminuiva solo in parte le difficoltà. In compenso rimane ad esso il merito di aver legittimato i risultati delle prime ricerche infinitesimali, quando era ancora imperfetta la critica dei concetti
- ↑ H. G. Zeuthen, Die Lehre von des Kegelschnitten im Altertum, Kopenaghen, 1886, pag. 434.