Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 7. Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe

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Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Punti e tangenti comuni a due curve

Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Porismi di Chasles e teorema di Carnot

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[p. 348 modifica]

Art. VII.

Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe.

33. Se una curva dee passare per un dato punto $a$ , ciò equivale manifestamente ad una condizione.

Per $a$ conducasi una retta ${\rm {A}}$ ; se la curva deve contenere anche il punto di ${\rm {A}}$ che è successivo ad $a$ , cioè se la curva deve non solo passare per $a$ , ma anche toccare ivi la retta ${\rm {A}}$ , ciò equivale a due condizioni.

Per $a$ conducasi una seconda retta ${\rm {A_{1}}}$ ; se oltre ai due punti consecutivi di ${\rm {A}}$ , la curva dovesse contenere anche quel punto di ${\rm {A_{1}}}$ che è successivo ad $a$ , ciò equivarrebbe a tre condizioni. Ma in tal caso, due rette condotte per $a$ segherebbero ivi due volte la curva, cioè $a$ sarebbe un punto doppio per questa. Dunque, se la curva dee avere un punto doppio in $a$ , ciò equivale a tre condizioni.

Se la curva deve avere in $a$ un punto doppio (tre condizioni), una retta qualunque ${\rm {A}}$ condotta per $a$ conterrà due punti di quella, coincidenti in $a$ . Se la curva deve passare per un terzo punto successivo di ${\rm {A}}$ , cioè se questa retta dovrà avere in $a$ tre punti comuni colla curva, ciò equivarrà ad una nuova condizione. Se lo stesso si esige per una seconda retta ${\rm {A_{1}}}$ e per una terza ${\rm {A_{2}}}$ (passanti per $a$ ), si avranno in tutto sei condizioni. Ma quando per $a$ passino tre rette, ciascuna delle quali seghi ivi tre volte la curva, quello è un punto triplo (31); dunque, se la curva dee avere in $a$ un punto triplo, ciò equivale a sei condizioni.

In generale: sia $x_{r-1}$ il numero delle condizioni, perchè la curva abbia in $a$ un punto $(r-1)^{plo}$ . Ogni retta ${\rm {A}}$ condotta per $a$ , avrà ivi $r-1$ punti comuni colla curva. [p. 349 modifica]Se questa dee contenere un altro punto successivo di ${\rm {A}}$ , cioè se la retta ${\rm {A}}$ deve in $a$ avere $r$ punti comuni colla curva, ciò equivale ad una nuova condizione. Se la stessa cosa si esige per altre $r-1$ rette passanti per $a$ , si avranno in tutto $x_{r-1}+r$ condizioni. Ora, quando per $a$ passano $r$ rette, ciascuna avente ivi $r$ punti comuni colla curva, $a$ è un punto multiplo secondo $r$ (31); dunque, se la curva deve avere in $a$ un punto $(r)^{plo}$ , ciò equivale ad un numero $x_{r}=x_{r-1}+r$ di condizioni; ossia $x_{r}={\tfrac {r(r+1)}{2}}$ .

34. Da quante condizioni è determinata una curva d’ordine $n$ ? Se la curva debba avere un dato punto $a$ multiplo secondo $n$ , ciò equivale (33) ad ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$ condizioni. Ma una linea d’ordine $n$ , dotata di un punto $(n)^{plo}$ $a$ , è il sistema di $n$ rette concorrenti in $a$ (31); e, affinchè queste siano pienamente individuate, basta che sia dato un altro punto per ciascuna di esse. Dunque:

Il numero delle condizioni che determinano una curva d’ordine $n$ è

${\frac {n(n+1)}{2}}+n={\frac {n(n+3)}{2}}$ ¹.

Se sono date solamente ${\frac {n(n+3)}{2}}-1$ condizioni, vi saranno infinite curve d’ordine $n$ che le potranno sodisfare, e fra esse ve ne saranno alcune (siane ${\rm {N}}$ il numero) che passeranno per un punto qualunque dato. L’intero sistema di quelle curve, in numero infinito, chiamasi serie d’ordine $n$ e d’indice ${\rm {N}}$ ².³

Per esempio, le tangenti di una curva della classe $m$ formano una serie d’ordine 1 e d’indice $m$ .

In generale esiste sempre una linea che inviluppa una serie data {d’indice ${\rm {N}}$ }, cioè che in ciascun de’ suoi punti tocca una curva della serie. {Essa è il luogo dei punti, pei quali due delle ${\rm {N}}$ curve della serie coincidono.} Tutta la serie si può concepire generata dal movimento continuo di una curva, che vada cambiando di forma e di posizione, in modo però da sodisfare alle condizioni proposte. I punti, in cui una curva della serie sega quella che le succede immediatamente, sono anche i punti di contatto fra la prima di queste curve e la linea inviluppo della serie.⁴

35. Il teorema or ora dimostrato (34) ci mette in grado di stabilire quest’altro: [p. 350 modifica] che una curva semplice dell’ordine $n$ non può avere più di ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ punti doppi (comprese le cuspidi). Infatti: se ne avesse uno di più, per questi ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}+1$ e per altri $n-3$ punti della stessa curva, in tutto ${\tfrac {(n-2)(n-2+3)}{2}}$ punti, si potrebbe far passare una curva dell’ordine $n-2$ , la quale avrebbe in comune colla linea data $2\left\{{\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}+1\right\}+n-3=n(n-2)+1$ intersezioni: il che è impossibile, se la curva data non è composta di linee d’ordine minore⁵.

Note

↑ Così, una curva della classe $m$ è determinata da ${\tfrac {m(m+3)}{2}}$ condizioni.
↑ Jonquières, Théorèmes généraux concernant les courbes géométriques planes d’un ordre quelconque (Journal de M. Liouville, [2^e série, t. 6] avril 1861, p. 113).
↑ [p. 497 modifica]Qui, e nel seguito, si deve sempre sottintendere che le serie di curve di cui si parla, e così le condizioni a cui le curve si assoggettano, siano algebriche.
↑ [p. 497 modifica]A questo punto, nella traduzione tedesca (Einleitung, pag. 48-49), è aggiunto quanto segue:
In einer Reihe von Curven $n$ -ter Ordnung kann man jede einzelne als von dem Werte einer bestimmten variablen Grösze abhängig betrachten, wie etwa, um ein Beispiel anzuführen, von dem Producte der anharmonischen Verhältnisze

$(abcx_{1}).(abcx_{2})\dots (abcx_{n})$ ,

worin $a,\,b,\,c$ drei gegebene Puncte in gerader Linie bedeuten, und $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\dots ,x_{n}$ die Puncte sind, in denen diese Gerade die Curve schneidet.

Dieser Grösze, deren verschiedene Werte zur Bestimmung der verschiedenen Curven ein und derselben Reihe dienen, pflegt man den Namen Parameter zu geben.

Hängt die Curve von irrationalen Functionen des Parameters ab, so werden die verschiedenen Werte dieser Functionen, es seien $r$ , ebenso viele Curven bestimmen, welche alle ein und demselben Werte des Parameters entsprechen. Die Gruppe dieser $r$ Curven kann als ein Ort der $rn$ -ten Ordnung betrachtet werden, und die gegebene Reihe als eine solche von der $rn$ -ten Ordnung, in welcher jeder Wert des Parameters nur eine einzige Curve individualisiert. Eine solche Reihe kann man zusammengesetzt nennen mit Rücksicht auf die Curven $n$ -ter Ordnung, und einfach in Bezug auf die Gruppen oder Curven der $rn$ -ten Ordnung. Daher ist klar, dasz der Fall einer zusammengesetzten Reihe, aus diesem Gesichtspuncte aufgefaszt, auf den der einfachen Reihen zurückgeführt werden kann. Wir werden im Folgenden daher nur von letzteren reden, gleichgültig ob die Elemente derselben einfache Curven oder Gruppen von Curven sind.
↑ Plücker, loco citato, p. 215.

[1] Così, una curva della classe $m$ è determinata da ${\tfrac {m(m+3)}{2}}$ condizioni.

[2] Jonquières, Théorèmes généraux concernant les courbes géométriques planes d’un ordre quelconque (Journal de M. Liouville, [2^e série, t. 6] avril 1861, p. 113).

[3] [p. 497 modifica]Qui, e nel seguito, si deve sempre sottintendere che le serie di curve di cui si parla, e così le condizioni a cui le curve si assoggettano, siano algebriche.

[4] [p. 497 modifica]A questo punto, nella traduzione tedesca (Einleitung, pag. 48-49), è aggiunto quanto segue:
In einer Reihe von Curven $n$ -ter Ordnung kann man jede einzelne als von dem Werte einer bestimmten variablen Grösze abhängig betrachten, wie etwa, um ein Beispiel anzuführen, von dem Producte der anharmonischen Verhältnisze

$(abcx_{1}).(abcx_{2})\dots (abcx_{n})$ ,

worin $a,\,b,\,c$ drei gegebene Puncte in gerader Linie bedeuten, und $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\dots ,x_{n}$ die Puncte sind, in denen diese Gerade die Curve schneidet.

Dieser Grösze, deren verschiedene Werte zur Bestimmung der verschiedenen Curven ein und derselben Reihe dienen, pflegt man den Namen Parameter zu geben.

Hängt die Curve von irrationalen Functionen des Parameters ab, so werden die verschiedenen Werte dieser Functionen, es seien $r$ , ebenso viele Curven bestimmen, welche alle ein und demselben Werte des Parameters entsprechen. Die Gruppe dieser $r$ Curven kann als ein Ort der $rn$ -ten Ordnung betrachtet werden, und die gegebene Reihe als eine solche von der $rn$ -ten Ordnung, in welcher jeder Wert des Parameters nur eine einzige Curve individualisiert. Eine solche Reihe kann man zusammengesetzt nennen mit Rücksicht auf die Curven $n$ -ter Ordnung, und einfach in Bezug auf die Gruppen oder Curven der $rn$ -ten Ordnung. Daher ist klar, dasz der Fall einer zusammengesetzten Reihe, aus diesem Gesichtspuncte aufgefaszt, auf den der einfachen Reihen zurückgeführt werden kann. Wir werden im Folgenden daher nur von letzteren reden, gleichgültig ob die Elemente derselben einfache Curven oder Gruppen von Curven sind.

[5] Plücker, loco citato, p. 215.

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