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Lorenzo Mascheroni - La Geometria del Compasso (1797)

Libro secondo

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I

III

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[p. 14 modifica]

DELLA GEOMETRIA

DEL COMPASSO

LIBRO SECONDO

DELLA DIVISIONE DELLA CIRCONFERENZA

E DEGLI ARCHI DEL CERCHIO.

problema.

27. Dividere la circonferenza del cerchio $BDd$ in quattro parti eguali. (Fig. 9.)

Soluzione. Nella stessa circonferenza si faccia al raggio $AB=Bc=BC=CD=DE=Ed$ col primo compasso (§ 10. 8.). Sarà $dc=cB=BA$ (15. lib. 4.).

Si faccia a $BD=Ba=Ea$ col 2° compasso; ad $Aa=BF=Bf$ col 3° compasso. Si avrà divisa la circonferenza in quattro parti eguali $BF$ , $FE$ , $Ff$ , $fB$ .

[p. 15 modifica]Dimostrazione. Essendo $BAE$ un diametro (15. lib. 4.); e avendo i triangoli $aAB$ , $aAE$ tutti i lati eguali, e però eguali gli angoli $aAB$ , $aAE$ (8. lib. 1.); questi saranno retti (13. lib. 1.). Dunque $(aB)^{2}=(AB)^{2}+(aA)^{2}$ (47. lib. 1.); e sottraendo $(AB)^{2}$ da tutte due le parti, si ha $(aB)^{2}-(AB)^{2}=(aA)^{2}$ . Si faccia per brevità $AB=1$ ; sarà $(aB)^{2}=(BD)^{2}=3$ (§. 2.). Sarà dunque $(aA)^{2}=3-1=2$ , e quindi anche $(BF)^{2}=(aA)^{2}=2=1+1=(AB)^{2}+(AF)^{2}$ . Dunque nel triangolo $FAB$ l’angolo FAB sarà retto (48. lib. 1.), e però anche l’angolo $FAE$ (13. lib. 1.). Saranno dunque gli archi $BF$ , $FE$ eguali tra loro, e quarti di cerchio, come pure gli archi $Bf$ , $fE$ .

28. Corollario. Essendo retti gli angoli $BAa$ , $BAF$ ; i tre punti $A$ , $F$ , $a$ saranno nella stessa retta.

29. Abbiamo dunque già la circonferenza divisa in due parti eguali per esempio nei punti $B$ , ed $E$ ; in tre parti, come ne’ punti $B$ , $D$ , $d$ (15. lib. 4.); in quattro parti ne’ punti $B$ , $F$ , $E$ , $f$ (§. 27.); in sei parti nei punti $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $d$ , $c$ . (15. lib. 4.).

[p. 16 modifica]

problema.

30. Dividere una circonferenza in otto parti eguali.

Soluzione. Stanti le cose come al §. 27. Si faccia ad $AB=aG=aH$ compasso 1.° ad $Aa=Gg=Hh$ compasso 3.° sarà anche ad $Aa=gh$ ; e la circonferenza sarà divisa in otto parti eguali ne’ punti $B$ , $G$ , $F$ , $H$ , $E$ , $h$ , $f$ , $g$ . (Fig. 9.)

Dimostrazione. Poichè essendo $(Aa)^{2}=2$ (§. 27.); sarà $(Aa)^{2}=(AG)^{2}+(aG)^{2}$ . Sarà dunque retto l’angolo $aGA$ (48. lib. 1.). Quindi pel triangolo isoscele $aGA$ gli altri due angoli $GAa$ , $GaA$ tra loro eguali (5. lib. 1.) saranno semiretti (32. lib. 1.). Dunque l’angolo $GAF$ , che è lo stesso coll’angolo $GAa$ (§. 28.), sarà la metà di $BAF$ . Dunque anche l’arco $GF=BG$ . Ma per costruzione è $Gg=BF$ (26. lib. 3.). Dunque tolto di qua e di là $BG$ ; sarà $GF=Bg$ . Nello stesso modo si dimostrerà, che gli altri archi sono eguali. Sara dunque la circonferenza divisa in parti eguali ciascuna alla meta del quadrante, e però in otto.

[p. 17 modifica]

problema.

31. Dividere la circonferenza in dodici parti eguali.

Soluzione. Stanti le cose come nel §. 27., si faccia ad $AB=FN=Nn=FO=Oo$ . Sarà la circonferenza divisa in dodici parti eguali ne’ punti $B$ , $N$ , $C$ , $F$ , $D$ , $O$ , $E$ , $o$ , $d$ , $f$ , $c$ , $n$ . (Fig. 9.)

Dimostrazione. Poichè tolti via gli archi eguali $BC$ , $DE$ dagli eguali $BF$ , $FE$ ; gli archi, che rimangono $CF$ , $FD$ saranno eguali. Essendo dunque $CD$ la sesta parte della circonferenza (§. 29.); sarà $CF$ la sua metà, cioè la duodecima. Sarà ancora CF=CN a cagione di $FN=CD$ ; così pure $CN=NB$ a cagione di $FN=CB$ . E nella stessa guisa si dimostrerà, che tutte le altre sono duodecime parti della circonferenza.

[p. 18 modifica]

problema.

32. Dividere la stessa circonferenza in ventiquattro parti eguali.

Soluzione. Stanti le stesse cose come sopra (§. 30., e 31.); si faccia ad $AB=GL=LM=Gk=ki=HI=IK=Hm=ml$ compasso 1.° e sarà fatto. (Fig. 9.)

Dimostrazione. Poichè se dagli archi eguali $GF$ , $GB$ (§. 30.) si sottraggono gli eguali $CF$ , $NB$ (§. 31.); resteranno eguali $GC$ , $GN$ , ed essendo $CN$ una duodecima parte della circonferenza (§. 31.); saranno $GC$ , $GN$ ventiquattresime parti di essa. Essendo poi $FN=GL$ ; tolto via $FG$ ; sarà $NG=FL$ . Dunque anche $FL$ sarà una ventiquattresima e la metà di $FD$ (§. 31.). Nello stesso modo si dimostrerà essere eguali a questi gli archi $DH$ , $HO$ , $FI$ , $IC$ , così tutti gli altri determinati quì sopra.

33. Noi ci siamo qui serviti senza citarle delle Prop. 26., e 27. del lib. 3.. d’Euclide, che in un cerchio, o in cerchj eguali le rette eguali sottendono archi eguali; il che faremo anche in seguito per brevità.

[p. 19 modifica]34. Gli antichi per via del centro $A$ col raggio $AB$ , e col solo compasso divisero la circonferenza in sei parti eguali. Le altre divisioni le ottenevano col compasso e colla riga, prendendo varj punti fuori della circonferenza. Ora noi abbiamo trovato un punto a tale, che solo basta a dividere la circonferenza in ventiquattro parti eguali col solo compasso. Il che è nello stesso tempo più spedito e comodo, e porta ad una divisione pratica molto più accurata dell’antica.

35. Può sembrare elegante la serie delle aperture de’ tre compassi, che bastano a questa divisione. Poichè si trova l’apertura del primo = ${\sqrt {1}}$ , del secondo = ${\sqrt {2}}$ , del terzo = ${\sqrt {3}}$ .

36. Lemma. Se nel cerchio $BGE$ sia il raggio $AB=1$ ; sia poi l’arco $BG$ un’ottava parte della circonferenza; sarà il quadrato della sua corda $BG$ , ossia $(BG)^{2}=2-$ ${\sqrt {2}}$ . (Fig. 10.)

Dimostrazione. Sul diametro $BE$ si cali la perpendicolare $GP$ . Nel triangolo rettangolo $GPA$ a cagione dell’angolo semiretto $GAP$ sarà semiretto ancora $AGP$ (32. lib. 1.). Saranno dunque eguali i lati $GP$ , $PA$ (6. lib. 1.). È poi $(AG)^{2}=(PG)^{2}+(AP)^{2}$ (47. lib. 1.). Dunque $(AG)^{2}=2(4P)^{2}$ ; quindi $2(AG)^{2}=4(AP)^{2}$ , ossia $2=(2AP)^{2}$ , e quindi ${\sqrt {2}}$ $=2AP$ ; $AP=$ ½ ${\sqrt {2}}$ ; [p. 20 modifica] $BP=AB-AP=1-$ ½ ${\sqrt {2}}$ . Si ha poi, essendo retto l’angolo $BGE$ (31. lib. 3.), $BP:BG::BG:BE$ (8.4. lib. 6.); quindi (17. lib. 6.) $(GB)^{2}=BP.BE=2BP$ . Dunque $(BG)^{2}=2-$ ${\sqrt {2}}$ .

37. Lemma. Stanti le stesse cose del §. 36., sarà il quadrato della $GE$ corda di tre ottave parti della circonferenza, ossia $(GE)^{2}=2+$ ${\sqrt {3}}$ .

Dimostrazione. Poichè sarà $(BE)^{2}=(GE)^{2}+(BG)^{2}$ (47. lib. 1.). Ma $(BE)^{2}=4$ ; $(BG)^{2}=2-$ ${\sqrt {2}}$ (§. 36.). Dunque $4=(GE)^{2}+2-$ ${\sqrt {2}}$ , e togliendo 2, aggiungendo ${\sqrt {2}}$ , si avrà $2+$ ${\sqrt {2}}$ $=(GE)^{2}$ .

problema.

38. Essendosi già divisa la circonferenza in ventiquattro parti (§. 32.) eguali; suddividerla in quarantotto.

Soluzione. Si faccia ad $aN=Be=Ee$ (§. 11.) compasso 4°; ad $AB=e\mu =e\nu$ compasso 1°. Saranno $K\mu$ , $\mu N$ , $M\nu$ , $\nu O$ quarantottesime parti della circonferenza. (Fig. 11.)

Dimostrazione. Se si concepiscono guidate le rette $Aa$ , $Nn$ , $aN$ , $aB$ (§. 12.); essendo retto l’angolo $BAa$ (§. 27.); e l’angolo [p. 21 modifica] $BAN=BAn$ (§. 31.), e i tre raggi $AN$ , $AB$ , $An$ eguali; sarà $(aN)^{2}=(aB)^{2}-Nn.Aa$ (§. 20.); però a cagione di $aN=Be$ , sarà, pure $(Be)^{2}=(aB)^{2}-Nn.Aa$ . Essendo poi i triangoli $eAB$ , $eAE$ a cagione de’ lati rispettivamente eguali, rettangoli in $A$ (8. e 13. lib. 1.); sarà $(Be)^{2}=(AB)^{2}+(Ae)^{2}$ (47. lib. 1.). E però $(AB)^{2}+(Ae)^{2}=(aB)^{2}-Nn.Aa$ . Ma è $(aB)^{2}=(AB)^{2}+(Aa)^{2}$ . Sarà dunque $(AB)^{2}+(Ae)^{2}=(AB)^{2}+(Aa)^{2}-Nn.Aa$ ; quindi sottraendo $(AB)^{2}$ , si ha $(Ae)^{2}=(Aa)^{2}-Nn.Aa$ . Ma $(Aa)^{2}=2$ (§. 27.), e $Nn=1$ ; essendo $Nn$ corda d’una sesta della circonferenza (§. 31.). Dunque $(Ae)^{2}=2-$ ${\sqrt {2}}$ $=$ al quadrato della corda dell’arco $BG$ , che è l’ottava parte della circonferenza (§. 30., e 36.). Sarà dunque l’arco $B\mu =\mu G$ (§. 24.). Se poi da questi archi si sottraggono gli archi eguali $BK$ , $NG$ (§. 32.); saranno gli archi $K\mu$ , $\mu N$ eguali. Essendo dunque l’arco $KN$ la vigesimaquarta parte della circonferenza (§. 32.); saranno le sue metà, ossia gli archi $K\mu$ , $\mu N$ , e per la stessa ragione gli archi $M\mu$ , $\mu O$ la quarantottesima parte della circonferenza.

[p. 22 modifica]39. Stanti le stesse cose potrebbe chi volesse, col solo ajuto dei quattro compassi indicati qui sopra, dividere tutta la circonferenza in quarantotto parti eguali (§. 8.). Poichè se pel primo compasso di apertura $=AB$ si divida la circonferenza in sei parti cominciando dal punto $\mu$ , si bipartiranno gli archi $IF$ , $HO$ , $mo$ , $fl$ , $ng$ . Dividendo poi la circonferenza in sei parti cominciando dal punto $\nu$ , resteranno divisi gli archi $oh$ , $fi$ , $nk$ , $NG$ , $FL$ . Dividendo poi la circonferenza in quattro parti col terzo compasso di apertura eguale ad $Aa$ cominciando dal punto $\mu$ , resteranno divisi gli archi $LD$ , $ic$ ; cominciando poi dal punto $\nu$ , resteranno divisi gli archi $IC$ , $Id$ . In seguito dividendo la circonferenza in sei parti eguali di nuovo col primo compasso, ma cominciando dagli ultimi punti trovati col terzo compasso, resteranno divisi per meta tutti gli altri archi. (Fig. 11.)

La dimostrazione e simile a quella del §. 32.

[p. 23 modifica]PHOXLEM*.

’+ - Oi^iJtre ’» circoiifcredta BXid in

ciaque jsirti cguali.

) Solutions, Stami le cos; come nel Pro’K$. btema Jj. 31.1, ii faou ad Aa~ Nfl ■ "" = Ob; compitflb J.*

Si fa«ia a Bi = EQ» Sari I’ nee 1)Q la quintl pine della 1 t’fconttfreiua,

’ ^ifBofirailiiu. Sc u conecpiscano ccmdotte due rctte No, A t’else 1i taglltno n Xi a "gionc de* iriaTigolj equilawri t’N’At FOA

’ U rtitj F A arl bipartita in X ( 10, lib. 1. ); cosa pure NO ( #. 14- )• ELi?ndo poi I’ir*

i co NFO cgiia)! lll’weo BCD ( f. )i. )>

J Sara il quaitatu deiia sua orda N O eguslc al quadtiEO dslla corda B II = i ( f ■ *■ ) ■

[ il quadraio poi delta sua met* NX. avvaa (NX)’=i( pec Comll. deila Prop. 4.

I lib. I. ). Sood puj Hfjlt ll*fl» KtH i puott l) *, A 1. Xi. c il tmngo’J NiX rcrtangolo (§■ ix. ij. 14. ) i croi (N & V = C Ai)’

> ( |, 17. ). Liomk (Xi)’ = (hi*)", ~(KX)’ ( 47. lib. 1. ) = 1 — 7

7 — j = 7. Ma per L’aiigolo reitd 3C.AB lo rteifo the FAB ft ha (BXV =s Cab)- +■ (ax)’ (47- lib, 1. ).

B 4 [p. 24 modifica]

4

Ed k (AXV fc* A (AF)’ ( pfjr Co, Prop. 4. del *, >* Sari dnnque (IJJQ 1 1 +■ - = 7 ^ (Xi) ! . Duoque lc rette B Xb soup- fgualL Sid dunquc quefta punto quelle rttflb » -che adopera, ToLajnmeo A* prjPto Libro ■dell’Alm^gefto per Uerivece "" pcnragoin* c un deeigono equilajcta * 1 cquiangolo iwl cctchio , Vedi U diraoflxazE ne del Clivio nello ScoSlo alia Prop. 1 dd Libro K> d’ Eadidc . Vedi aoeora numrri stguentj ( f . 45. K> ), di| quali fisi icri U dimo-ftraiiopc i uteri tii qucrta Props fizione , c dclEc scgucmi <■■ i

1 ’ JJ’i v-idere la circonferenia ia die*

’i.5- paiti cguilL* Sotu^tOfie . Slant i !t cose come net Pn bit ma precede nte ( £ 40. ), fi lice* ad Ah = BP, sari E1 J =5 PQ; »rJ eguali alia derima parte del I a circonn reuza. . Jlmojf rff jiuwe ♦ Vcd! 10, lib. ij. Eucl*

[p. 25 modifica]FRO Bit MA.

4^. {Jtvidere la circonfbrenxa in ccntoveiui fig. jm. ii eguali la. D

&okiione. Stanii le cose come ne* Probtcmi ^C jajj e 40., sara QI la centuvemdimi pane delfa circon-fercim.

rafffroifoM, Fokhi 1" irco BI e eguaT- 1 cinque venciquixtrellme dclla circorafcren?-! S* }t*» e I’arco BQ cguale a una quinia. < 1

Dnnq ue Q] — BI — B<i a* -^ — ^ =

4 J

M_^_X+ ^

lio "" 110" 43- Petri chi voglia con soli quaivo compafli, oiVi-A qua tiro aperture d*un compsflu, e con eoH due punii pre fi fuori dclla circonferenaa t cioe coi soli due punti a, ^, dlvidere la circonferenza del cerdlio in cencoventi parti eguali ■ Poichc col puiuo a t e con tre connpaili tiendo divi^a la circonfcrciixi in 14. parti, Probl. §, 30., e avendo trovaro il piimn b §. 40. Si fccria col quarto comp.Ho adA fc<«*B P =»-BQ» Q R = ItS, a cui sari puru cguile S& [p. 26 modifica]»•*

Sb J- 1 - On per dividere ("»f«J NG i* t. i|’J ■ [■ ni cgutli’, i iscum delle qiul no unj MotoTenufinm; l! ijc.:i» tl Ai = L j =? ^ = [, = Of =., a = a <p. Si avrj divtas 1 arco N 8 i* Mnqtie pjrti ejfujM. Nelfc ih-flo mai ii [Hitrinno dividers tun, g)j alrri itch G C, C 1 ec.

j’mo/Jriij:ii,K. Poichi cflindo BQ = R i: i

BF = FEi IF = FL;

— LR, td cllcndo Lj = QR; sj r i j„. chs Of = LR = QI. Nclb jit (To medo tfltndo QP = pi,; jjjj j nc d, q? _,,,.

— Q’J". FarimtKie a cag$ooc di I,t=Q[j; sari irP = Q]. Efliddo g» CVo = j}Q. Ol =: IB; sar.i jnco^ lii = QT. IniiNc: icigJDDcdj fflff =: Is-j sirs!i) — g) iT -3 Q 1. EfTendo poi rj) = o 1 +■ fa + am =; BP + PQ +- (IK = HR, lolrl di qui c di U gli arihi egnalj 00, 1IL; 1; ana 1 itfidno Gip = LR — QI. FiMtatnrt J cagW di BL = LX,.<,lu K!i „

BQ, L/, sari II reffluo QI = Mjj. Si _ Krk dunqut divisn -I’jrio KG ne" cinque ill thi ’Nf.^r.Pjr, ir<j>, jig tg^fi c;j. scuno all’irco QI, c-f.-ii, egitili. ttt {mo. F.JTehdo [Mi KG una YtmtiiJDaqLn:!

rixojRrcaa ( f. n. }, hcj, ogo;,,,

pane yoa MMuvenufinU dcilj cfccBflfefrraa. [p. 27 modifica]17

54* AbbiJiflo duirqile ormsi divjso chl soW compaRo la tircoiJttrcur-a in BBM quelle "jaitl eguali, 1c qi’jli 1"> tiiLentvaiiO dagli Anclchi. jiiitiivtudo a.1 ccrchio i ciuquc polagDiii i«go-* larL tiiungolo, tyiadmo? pemtagoiwj gHf$jK> c de^gooo* ii»pi*g,indo kiiiMrc il rompa-fib * e J* liga- E’ poi riuscjto di sauimg cpmwlo l’aitcr potur? Dttenetc. mrio cio ■Mli’iftwneic Bolacticntc due pumi lqati ddla oirconfcicjm &&»t c *> c eoH’uttpiei^re sohniePte quaifta,ipecture di un ew.paiTa * aiTia qiiiitira compjiTi ($, 4 j. ft..), Chi V«jk fire U crjofrort*" di quelio ir.cuxto > cut riKocdu qpawiuto

potrk giudicirc fdfUa sua wmpliciia e syedi i ""/?,q, e ^ijj sua prt^jlionc iwlU pritiCJ*5* Hienda pel f, 40.

Xi + XF = FA = X£ + XA Ai = X*-XA

sari Ffc. A*=(X*)*-(XAV

=<XRy-(XA), =(AB)’

effii Ft. AJ=(?AV; quindi la F 6

sari divjsaj in A in ell re ma e media ragiooe

( 30. lik tf. ).

1*, Sari qultidi F&. A & =^ ( F A + A &) A*

= (fAV = (/A ± Ab) Ab =3 /AA*

■+* (A*V = fA (fA— ffr>+(A&r =aX/A) r — /A, fb -h <A*) Avetod^i dunque (/A) 1 = (/A V-/A,/* + (A*) [p. 28 modifica]»1W> {/AY. t legists fA.fi; |i jr — /A. Jit — (A A)’. QuiniJi joche la Jl»n divi*, in 4 in rltrcma e mtdiil

7- St edl toto, j,, „ f, gLo h A „» ^

Confcrtilia it. I; sjti, T/ = T/°— *l

«Wi4 6 avti/A./* = ( A4)’ ( j, ^

— <T/ )’. E quind, (,?. ], b, 2

angel, /AT, r*T, C h= bnu,,.,„.„,„ ] niiiM In /,, vn11m j llti> c|]1. |o H|(| gono proporziooall; t quin(i j ( g _ 1;b ft n«nno limili. Sari dtinqne itottdc aiK, K. friangolo /* T. [ mi Tft = T/" 48. L-iogolo T*A «■ T/4 +• JTf ( ji. lib, r. — T*/+iATi e agginngcnd™ tif. „: T*A +T*/=.,T*/+* AT; d».VlI

Tfrf -r *A7 = due recti. Mi Thfl
- T+*TA (J, iib.,) =?/ A 1

(!■ lib. i.)- Duoque iT*f + n T < JiAT = due «ni. Quinji ra„g [ AA1 -. cfic i Id rttfTo coll-angolo/AT. uri u< tlumti di due reni, e l-arco/T unj dttii dell a citconftrenza. 4?. Se It piglia |a wrll y, = _ ^ T. ^^

I" —ft CS- 47- >, c Ic due-,T, */• laglrctaimo per meti a d,„ go |j re[[i in

P 1 ""? O- ■+■): e sari;t/)’ = ( T vT + Wi quindi 4 (T/>’ = 4(A»’=S

^rV + 4(/7)’ = (T.)’ + ( /t )’j;;.n

v [p. 29 modifica]%9, qumdi CT’O" = ♦(At)" — (/!•)’. *U

CW S3 (/A ~ At)’ = (/A)’ — •/at. At 1- (Ai)’. UiuKluc ( r ri)’ =

3( At)’ — (fAY + j/A. Ai. On

j "M.A1B i/A ( M — /"») =5 i(/A )’ — a/A. /4 = i (/A )’ — i(*( )". "usque (Tl)’ = HAiV — (/A)’ +■. H/AV —»(A*)’=i(/A)" + (At)’ = (M)’ t (Ai)’ = (Bt)*i c qninli T f = Bt; Mi TU cordi d due decimc, oflia d’yua quiiita pane della eirconferenza *, tiuindi ancfic Bi. (j>iudi

1°’ Nel i r ij ngo i ri [[ango]o ABt il quadrate del lata fc] pencagoou c egiute alia soman dc’quadrati dei Ini dell’csagono e del deOtMou Querta i h n. lib. sj- Eucl.

Jl - ’ Uti del itianflolo retiangolo A B6 so:io corde dj arcrd, c he sobo bo pcogrcdione canirarmonica, Poieht quefti iTCaVl MMW T ■ 7» r> delta citcojiftrcn/J * Si crova poi

Ji- Eflendo /4.. j a.: i A ’ Af < 5. *& ) i e ikdh /i r i, a;: 4 A: A F; e qjtlodi

II diajDccro F/ rerta diviso nc" punci A* c i io ire, parti continuamense prtiporiiooaH. [p. 30 modifica]JO

P RORLEMA.

53- JvJviJcre h circonfercuiJ in vend parii, oiiia trovare una venitnW pun di etfa.

Solution?, S’ar.>i.10 si §. ^o.;

nH guadnDtc 1! V / h; jC cii 3 UJ = fV. Sari l’arco JJ V una. venMlinia

Pirnnflniitanc. Poich£ i BV = B/ — /V

= T - f»■ 1°0 = £.

A’tra Solu^ione. Srando pan U cose come al §, 40*; 11=] quadrante BV/lii foceta ad AH •= 4 V. Sari i*«reo i; V una ventclima.

Dirmjir^ittrtt * Effcndo A A corda d* una dcctm,ii ura I’MPO BV la nKri d’una dccintn, oiTia una veiiEclima <$. 14.) ■

54. A aglow di VA = VA il triadgolo AVI e i specie come AT/, tnaltre cffenjri FA: AA s: A/j I A/’ ($, l*v), cflia soitiEucndd valori eguali VA: A*:: T*: S/j i dw Erkoffnti isosccli avraauiu i Uti gyappjflkxuU I quinJi HraQDO fiinifi £ is, lib. 6. ).

J J. Effendo pure *F: l-A:: FA: AA ($. «., c 17* lib. tf. ),i saihtueeido valori eguaii ft [p. 31 modifica]3’

avrk IF i *V:: iV J A*. E peri of due tt’ungoti tP’V, oVA fi ivrannu i Uii piOBorjioeaJi i Che formauo l’ang»lo romunc in b, = f*i° i trisDjjbll saunoo tmili ( *, lib. i. t ■ Sari dunque Iwsoele iodic il uimguio 4FV. c sari FV =?*■ 6. Elfcndo l’aroo/V una quia" C *■ SJ-’i /T un’i dcrimi ( (. 47- ) > •»«■ P»™ T V una dccinn; qui:idi li corda TV" T/ ^ T 6 = 6 A. Ma i inchc Vi ~ TA (J. sj.>. Diinqw i due trianguii VTJi TfrA avianno cum i Uii rispenivaflUTHe cguali» c sl^uiao eguaU ( 8, 4. lib- i. ) fSOJIEJIA j 7. DiviJere una circoofireiiii in a 4°.

|).l.. i CgUlli.

So/uriorttf. Stand Ic cuss come al §. 43.» |j r pwineiio dc’yj. 3S., e3p.fi dividi ■u!niciiK inluc! L"»fca N G in J 1. Si puo fir quttlo facsndo al taggio dul cerchio e > eguali l«c°rde.0, 0J 1. StmuDo i due anehi P J 1, *■» oascuno una duccoiuijuataoieliiin ■ Vedi incor* S- S3. [p. 32 modifica]J*

Dimostrazione. Fokhi sotcraendo dalle due meta N*, GJ 1 gli arthi cguatj NP, Gtf (J. 43, >i reflet* p* 2=; J> ff. M* Pff e

una KitfQvcmctLjna (jf* 43-); duoquc ec.

58. Con una aperrura di com pa lib presa da! pUDto $> ad uti qualuHque puixro per cst-mpio N dclJa divifioae gia oiecnuta a I J’ 43- 1 "* jwtra pruscgiiire a dividers id due tutte k pairci cento ventelime di quel §, IV e-wmpio, con qucfta apertura fatio centro in p i di*idera racto ■= <p j farto centra in P, fi dividers Tarco»G, e cosi via via,

IP- 1 ir puiiti 1, e £ Fig. 12.* cd t Fi£ r n, soiro sammamentc ofterYihili. PofcHc: col mezzo di quc’soti prcJi fuori della cireonfereit/a abblamo divisu U ilefTa in diieeniaquarasKi parti eguali p c fiaino pure arrivaii a LEeterminarc Una ducentoquarautcflindi pane per via, di sole cinqiit aperture di rompatfb* cioe AB* BDi <A a 1 «N f AAi Pore ni o quclii servire ad aliri molii ufi infigni ocl scguito; ttovcremo ptr rapporto ad efll ttc eouafcioni fondamenia3i i dalle quali nc rieavcrcmo. a suo Imago altre dodici, e ne dJmoitreremei gli uii T quanda ne rcrra I’tXcjfioM.

/*{> [p. 33 modifica]r RQBLEMd.

3 ’ Dividcre un qualtmque areo L1C in s- due part) eguali to G.

Solt^ione. Col taggio AC, cul quale e (l«o dtactitto l’sreo BC, che li devo divitlurc, e coi centri li, e C B che Bono i due puOti eilieiiu dell’afed, li decrivano gli archi AD, AE, Si £iccia

11C = AD a A E ( $. 10.).

Poi coi ccutii D, ed E, c col Taggio DC = BE li descrivano due archi, che fi tagliuo in l r. On col raggiu AF, e cogli llelli centri D, ed E li descrivano due altti acehi, che fi caglino in G. Sari ]1 punto G nelli cireoufcreii13, e sari I’ arco B G =: G C.

Dinwflraiione. EETcndo eguali i lari rispertivameme uei ire triaugoii DBA, BAG. ACE; Hrit l’angola BCA = CAE (8. lib. ■• ). Huindi BC parallel! ad A £ ( 18. lib. I.). Quindi BAEC sari un parallelogram mo (!}■ lib. i.). Nella ftsfli mini era li piovcra, clie c urt paralltlograoimo B C A D. Si in poi rid parallelogruniiio SCAD la diagonak AB (guaie ai bti oppoili BD, AC. [p. 34 modifica]14

Dunque il quadrato della diagonale DC sarà cgualc alia»mmi del tjuadiaio dell’altra diagonal! A B, e df’due quidraii de’ doe laii A D, BC ( (. IS- )l oil" ««(DC)’ s= (AB>* + i (AD)’. Effecdo poi alia reita B C paraliele le due DA.^E; i fur.ti DAE Hiaimo Bella ftcfli rcna. [a olire avtudo 1 triaiiguli FAD, FAE tuiti i lati cguali; saramw cguaii gli aogoli FAD, FAE ( 8* lib. l. >. c peio exrcrambi rctii ( i j. lib. I. ). Sari dunqiic (DFV =3 (AD)’ + (AF)’i ma (Df T = (DC)"DuriqiK (AD)’ +■ (AF)’ = CAB)’ + i (AD)’i c tolto (AD)’ sata (AF)’ =; (AB)’ + CAD) 1. Ma ad (AF)* =s (DC)’. Dur.qiic (DG)’ = (HB)’ + (AD) 1. Ma percfte i iriangoU GAD.GAE biaoo i lilt eguaii; gli angoli GAD.GAE low eguali, e.rem. («.,i >)■ lib- I. )■ Durnjue (DG)’ = (AG)’ + (AD)’. Basque AB— -AG; c peri) i’ pumto G 4 nella cireonftrcnia. Tolii poi dagli angoli rciii GAD, GAE gli aogoli eguali BAD, (DAE; gli angoli BAG, GAC reflano tguali. Dunquc ’ara> PC << i diviso cgualmenic in due in G ( )J. lib. d- )■ [p. 35 modifica]IS

K, 1* arco da dividerli fc& «fl»j piccolo^™ be, *»&& °*% X f. " P» egmlioa poc" gi™d., c<™<= i B, cL,

G,%veWV?«*T* V" mell ° I" arco i 1 C - A _

i Sc L’arco di divider!! foHV tr<W g rln " de c ™ s PGQs s«ebbe sp«dientc ■<> ™. pl^r da e!U> di,», c di la/"* 1 i- eftaalt l’B, QC, acciocchi aataSe mediocte I’ «rco di neizo BC s rjmadi divider cjuello pet «** in G, dove re Uri pure diviso pet mem 1 «co ’,«*«*,. ECO) doiKJue ehe im eH>, <*e.ppwii**,lk diviiiom delll cireonfereK.. o d=gu «chi del eeffhie. e the fi P»» ««6»’«** compilfe, e colli rig".» P u0 lntoM otteK " te col coropartb solo Nrt

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