La geometria non-euclidea/Capitolo V/Fondamenti d'una geometria piana secondo le idee di Riemann

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Fondamenti d'una geometria piana secondo le idee di Riemann

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Fondamenti d'una geometria piana secondo le idee di Riemann
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[p. 131 modifica] FONDAMENTI D'UNA GEOMETRIA PIANA SECONDO LE IDEE DI RIEMANN.


§ 70. Le precedenti osservazioni ci guidano a porre i fondamenti d'una geometria metrica, prescindendo dal postulato di Euclide e adottando un punto di vista più generale di quello innanzi tenuto.

a) Ammettiamo di partire da una regione limitata di piano [regione normale], non dell'intero piano;

b) concediamo come postulati quelle proposizioni elementari, rivelateci dai sensi, nella regione inizialmente presa; proposizioni relative alla determinabilità della retta, alla congruenza etc.;

c) ammettiamo che le proprietà della regione iniziale si possano estendere all'intorno di un punto qualunque del piano [non diciamo al piano completo abbracciato con un solo sguardo].

La geometria sviluppata in base a questi principi sarà la più generale geometria piana, conciliabile coi dati che esprimono il risultato delle nostre esperienze prese in un senso rigoroso, ma limitatamente ad un campo accessibile.

In base a quanto si disse nel § 69 è chiaro che la detta geometria troverà una concreta interpretazione in quella delle superficie a curvatura costante.

Ma tale corrispondenza sussiste soltanto dal punto di vista [differenziale] secondo cui si confrontano delle regioni [p. 132 modifica]limitate. Se ci si pone invece dal punto di vista [integrale] secondo cui si confrontano la geometria dell'intiero piano e la geometria sopra la superficie, il riscontro non sussiste piú. Già infatti, sotto questo aspetto, non può dirsi nemmeno che sopra due superficie con una medesima curvatura costante valga la medesima geometria. Per es., il cilindro circolare ha una curvatura nulla ed una regione di esso può svilupparsi sopra una regione di piano, ma l'intero cilindro non è applicabile in tal modo sopra l'intero piano. La geometria integrale sul cilindro differisce perciò da quella dell'intero piano euclideo. Infatti, vi sono sul cilindro delle geodetiche chiuse [sezioni circolari] e generalmente due geodetiche di esso [eliche] s'incontrano in un numero infinito di punti, anzichè in due.

Differenze analoghe intercederanno in generale fra una delle geometrie metriche non-euclidee che potrebbe fondarsi sulla base dei postulati sopra enunciati e la geometria d'una corrispondente superficie a curvatura costante.

Quando tentiamo di abbracciare in senso integrale la geometria sopra una superficie a curvatura costante [p. es. sulla sfera o sulla pseudosfera] vediamo in generale che la proprietà fondamentale di una regione normale, relativa alla determinazione della geodetica passante per due punti, cessa di valere. Questo fatto non è però una conseguenza necessaria delle ipotesi su cui si basa, nel senso anzidetto, una metrica non-euclidea generale del piano. Infatti, quando si domandi se è logicamente possibile un sistema di geometria piana soddisfacente alle condizioni a) b) c) e tale che i postulati della congruenza e quello di determinazione della retta valgano nel piano completo, si ottengono, oltre l'ordinario sistema euclideo, i due sistemi geometrici seguenti:

1°) Il sistema di Lobacefski- Bolyai, già innanzi incontrato, in cui per un punto passano due parallele ad una retta. [p. 133 modifica]

2°) Un nuovo sistema [detto di RIEMANN], che corrisponde all'ip. ang. ottuso di Saccheri, in cui non esistono parallele.

In quest'ultimo sistema la retta è una linea chiusa, di lunghezza finita: si evita perciò la contraddizione cui si andrebbe incontro supponendo la retta aperta [infinita], ipotesi di cui si fa uso per stabilire il teorema dell'angolo esterno di Euclide ed alcuni risultati di Saccheri.


§ 71. Il primo a notare l'esistenza di un sistema geometrico compatibile con l'ip. ang. ottuso fu RIEMANN, perchè egli fu il primo a sostituire l'ipotesi della retta infinita, con l'altra più generale della retta illimitata. La distinzione che quì si presenta tra infinito ed illimitato è di fondamentale importanza. Riportiamo, a tale proposito, le parole di RIEMANN. «Quando si estendono le costruzioni dello spazio all'infinitamente grande bisogna fare distinzione fra l'illimitato e l'infinito: il primo appartiene ai rapporti d'estensione, il secondo ai rapporti metrici. Che lo spazio sia una varietà illimitata a tre dimensioni è una ipotesi che si applica in tutte le concezioni relative al mondo esterno, che ci serve per completare in ogni momento il campo delle nostre percezioni effettive ed a costruire i luoghi possibili degli oggetti cercati e che si trova costantemente verificata in tutte queste applicazioni. La proprietà dello spazio di essere illimitato possiede dunque una certezza empirica che nessun altro dato empirico possiede. Ma l'infinità dello spazio non ne segue in alcun modo; al contrario, se si suppongono i corpi indipendenti dalla loro posizione e si attribuisce allo spazio una curvatura costante, lo spazio sarebbe necessariamente finito non appena questa misura della curvatura avesse un valore positivo, comunque piccolo1.». [p. 134 modifica]

Concludendo, il postulato che attribuisce alla retta una lunghezza infinita, sott'inteso nelle ricerche dei precedenti geometri, non è per RIEMANN meno discutibile di quello delle parallele: ciò che RIEMANN ritiene indiscutibile è l'illimitazione dello spazio, proprietà compatibile tanto con l'ipotesi della retta infinita [aperta], quanto con quella della retta finita [chiusa].

La possibilità logica del sistema di RIEMANN si può desumere dall'interpretazione concreta ch'esso riceve mediante la geometria della stella di rette. Le proprietà della stella di rette si traducono facilmente in quelle del piano di RIEMANN e viceversa, con il sussidio del seguente dizionario: Stella Piano retta punto piano [fascio] retta angolo di due rette segmento angolo diedro angolo triedro triangolo .................... ...... ............................


Ecco, per es., la traduzione di alcune fra le più notevoli proposizioni della stella:




a) La somma dei tre diedri di un triedro è maggiore di due diedri retti.

b) Tutti i piani perpendicolari ad un altro piano passano per una retta.

c) Se ad ogni retta del piano facciamo corrispondere il punto in cui s'intersecano le rette perpendicolari alla retta data, si ottiene una corrispondenza fra rette e punti, che gode della seguente proprietà: i punti corrispondenti alle rette d'un fascio appartengono ad una retta, la quale, alla sua volta, ha per punto corrispondente il centro del fascio.

La corrispondenza così definita prende il nome di polarità assoluta [ortogonale] della stella.


a) La somma dei tre angoli di un triangolo è maggiore di due angoli retti.

b) Tutte le rette perpendicolari ad un'altra retta passano per un punto.

c) Se ad ogni piano della stella facciamo corrispondere la retta in cui s'intersecano i piani perpendicolari al piano dato si ottiene una corrispondenza fra piani e rette, che gode della seguente proprietà: le rette corrispondenti ai piani di un fascio appartengono ad un piano, il quale, alla sua volta, ha per retta corrispondente l'asse del fascio.

La corrispondenza così definita prende il nome di polarità assoluta del piano. [p. 135 modifica]

§ 72. Una notevole osservazione intorno all'ip. ang. ottuso fu fatta recentemente da DEHN.

Riferendoci ai ragionamenti di Saccheri [§ 15], Lambert [§ 19], Legendre [§ 27], si scorge facilmente che questi autori, per dimostrare la falsità dell'ip. ang. ottuso, si giovarono non solo dell'ipotesi della retta infinita, ma anche dell'ipotesi archimedea. Ora ci possiamo chiedere se quest'ultima sia realmente necessaria per stabilire il risultato. In altre parole possiamo chiederci se, escludendo il postulato di Archimede, le due ipotesi che attribuiscono l'una alla retta i caratteri delle linee aperte, l'altra alla somma degli angoli di un triangolo un valore maggiore di 180° siano compatibili fra loro. A una tale domanda rispose DEHN, con la memoria citata a § 14 [nota 30], costruendo una geometria non-archimedea, in cui la retta è aperta ed i triangoli verificano la 2a ipotesi saccheriana. Sicchè, la seconda delle tre ipotesi di Saccheri è compatibile con l'ipotesi della retta aperta, nel seno d'un sistema non-archimedeo. La nuova geometria fu chiamata da DEHN «Nicht-Legendre' sche Geometrie».


§ 73. Sebbene, come abbiamo detto, la geometria di una superficie a curvatura costante [positiva o negativa] non rispecchi in generale la intera geometria non-euclidea del piano di {{Sc| [p. 136 modifica]Lobacefski}} e di RIEMANN si può domandare se un tale riscontro possa aver luogo per una qualche superficie particolare.

A questa domanda si risponde così

1°) Non esiste alcuna superficie regolare2, analitica, su cui valga nella sua integrità la geometria di Lobacefski-Bolyai [Teorema di HILBERT3].

2°) Una superficie su cui valesse nella sua integrità la geometria del piano di Riemann dovrebbe essere necessariamente chiusa. [p. 137 modifica]La sola superficie regolare, analitica, chiusa a curvatura costante positiva è la sfera [Teorema di LIEBMANN4]. Ma sulla sfera, nelle cui regioni normali è valida la geometria di RIEMANN, due rette s'incontrano sempre in due punti [opposti]. Concluderemo pertanto:

Nello spazio ordinario non esistono superficie che verifichino integralmente tutte le proprietà dei piani non-euclidei.


§. 74. A questo punto conviene osservare che la sfera, fra tutte le superficie di curvatura costante non nulla, è dotata d'un carattere che l'avvicina più delle altre al piano. Infatti la sfera può muoversi su stessa allo stesso modo del piano, di guisa che le proprietà della congruenza valgono non solo per regioni normali ma, come sul piano, per l'intera superficie sferica abbracciata d'uno sguardo.

Questo fatto ci suggerisce un modo di enunciare i postulati della geometria, che non escluda a priori la possibile esistenza di un piano con tutti i caratteri della sfera, compreso quello dei punti opposti. Si potrebbe infatti richiedere che sul piano fossero validi:

1°) i postulati b), c) [cfr. § 70], in ogni regione normale;

2°) i postulati della congruenza sull'intero piano.

Si troverebbero allora i sistemi geometrici di Euclide, di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN [tipo ellittico], precedentemente incontrati, in cui due rette hanno solo un punto comune; [p. 138 modifica]un altro sistema riemanniano [tipo sferico], in cui due rette hanno sempre in comune due punti.


§. 75. Come RIEMANN abbia concepito il suo piano completo, se abbia cioè pensato al piano-ellittico o al piano-sfera, od abbia riconosciuto la possibilità di entrambi, non si può precisare, perchè egli, nella sua memoria, fa della geometria differenziale e dedica soltanto poche parole alle forme complete. Però i continuatori del suo indirizzo, fra cui BELTRAMI, considerando costantemente la geometria riemanniana accanto alla sferica, furono tratti a supporre che sul piano completo di RIEMANN, come sulla sfera [per l'esistenza dei punti opposti], il postulato di determinazione della retta presentasse delle eccezioni5 e che l'unica forma compatibile con l'ip. ang. ottuso fosse il piano-sfera.

Le proprietà essenziali del piano-ellittico furono date da A. CAYLEY [1821-1895] nel 1859, ma la relazione fra queste proprietà e la geometria non euclidea fu additata da KLEIN solo nel 1871. A KLEIN si deve pure la netta distinzione fra le due geometrie riemanniane e la rappresentazione di quella ellittica con la geometria della stella [cfr. § 71]

Per comprendere in che consista la differenza fra la geometria sferica e la ellittica fissiamo l'attenzione su due tipi di superficie che si presentano nello spazio ordinario, cioè sulle superficie a due faccie [bilatere] e sulle superficie ad una sola faccia [unilatere].

Esempi di superficie bilatere sono il piano ordinario, le superficie del 2° ordine [coniche, cilindriche, sferiche] ed in [p. 139 modifica]generale tutte quelle che racchiudono solidi. Su queste è possibile distinguere due faccie.

Un esempio di superficie unilatera ci è dato dal foglio di Moebius [Moebiussche Blatte], il quale si costruisce facilmente così. Tagliata una striscia rettangolare ABCD, invece di congiungere i lati opposti AB, CD in modo da ottenere una superficie cilindrica, si congiungano gli stessi lati dopo che uno di essi, ad es. CD, ha ruotato di 180° intorno al suo punto di mezzo. Allora, quella ch'era la faccia superiore del rettangolo, in prossimità di CD, viene a trovarsi proseguita dalla faccia inferiore del rettangolo primitivo, sicchè sul foglio di Moebius la distinzione delle due faccie diventa impossibile.

Volendo distinguere le superficie unilatere dalle bilatere mediante un carattere che dipenda solo dalle proprietà intrinseche delle superficie si procede così. Fissato un punto della superficie ed un verso di rotazione intorno ad esso, si faccia percorrere al punto un cammino chiuso sulla superficie che non ne attraversi l'eventuale contorno: per le superficie bilatere, allorchè il punto ritorna nella posizione iniziale, il verso iniziale della rotazione coincide col verso finale; per le superficie unilatere [come facilmente si verifica sul foglio di MOEBIUS, percorrendo la linea mediana della superficie] esistono dei cammini chiusi per cui il verso finale della rotazione è l'inverso dell'iniziale.

Ritornando ai due piani di RIEMANN si può ora facilmente spiegare in che consista la loro sostanziale differenza: il [p. 140 modifica]piano-sfera è dotato dei caratteri delle superficie bilatere, il piano ellittico di quelli delle superficie unilatere.

La proprietà del piano ellittico ora enunciata trova poi, come tutte le altre, una interpretazione concreta nella stella di rette.

Infatti, un ribaltamento d'una retta su se stessa, intorno al centro della stella, scambia fra loro le due rotazioni che hanno per asse quella retta.

Un'altra proprietà del piano ellittico, legata alla precedente, è questa: Il piano ellittico, contrariamente a ciò che accade per l'euclideo e gli altri non euclidei, non viene spezzato in due falde dalle sue rette. Ciò può esprimersi ancora dicendo che dati su esso due punti A, A' ed una retta arbitraria si può passare da A ad A' per un cammino che non esca dal piano nè attraversi la retta.

Questo fatto si traduce in una chiara proprietà della stella, che è superfluo richiamare.


§ 76. Analoga all'interpretazione del piano ellittico è quella che può darsi del piano-sfera mediante la stella di raggi [semirette]. La traduzione delle proprietà di questo piano nella proprietà della stella di raggi si effettua con l'uso di un dizionario, simile a quello del § 71, in cui la parola punto si trova contrapposta alla parola raggio.

La considerazione della stella di raggi a fianco della stella di rette si presta assai bene per rischiarare i legami e spiegare le differenze che intercedono fra le due geometrie riemanniane.

Noi possiamo considerare due stelle, l'una di rette e l'altra di raggi, col medesimo centro. È chiaro che ad ogni retta della prima corrispondono due raggi della seconda, che ogni figura della prima è formata con due figure simmetriche della seconda e che, sotto certe restrizioni, le proprietà metriche delle due forme sono le stesse. Cosicchè se si conviene di riguardare i due raggi opposti della stella [p. 141 modifica]di raggi come formanti un solo elemento, la stella di raggi s'identifica con la stella di rette.

Le stesse considerazioni si applicano ai due piani di RIEMANN. Ad ogni punto del piano ellittico ne corrispondono due distinti e opposti del piano-sfera, a due rette del primo che passano per quel punto, due rette del secondo che hanno due punti in comune, etc....

Il piano ellittico, a fianco del piano-sfera, deve adunque concepirsi come un piano doppio.

A proposito del piano ellittico e del piano sfera conviene osservare che le formule della trigonometria assoluta, indicate al § 56, possono ad essi applicarsi in ogni loro regione convenientemente limitata. Ciò risulta dal fatto, già notato al § 58, che le formule della trigonometria assoluta sono valide sulla sfera, la cui geometria, per quanto riguarda le regioni normali, coincide con quella de' due piani in discorso.


  1. Cfr. la «Dissertazione» di RIEMANN, parte III, § 2.
  2. Cioè priva di singolarità.
  3. «Über Flächen von konstanter Gausscher Krümmung.», Transactions of the American Math. Society, t. II, p. 86-99 [1901]; «Grundlagen der Geometrie.», 2a ediz., p. 162-75 [Leipzig, Teubner, 1903]. La questione risolta col teorema di HILBERT si affacciò ai geometri in seguito all'interpretazione di BELTRAMI della geometria di Lobacefski-Bolyai. — HELMHOLTZ, fin dal 1870, nel suo articolo «Les axiomes de la géométrie.» [Revue des cours scientif., t. VII, p. 499] aveva affermato l'impossibilità di costruire una superficie pseudosferica, estesa indefinitamente in ogni direzione, e A. GENOCCHI, nella «Lettre à Mr. Quetelet sur diverses questions mathématiques.» [Belgique Bull., (2), t. XXXVI, p. 181-98, 1873] e più distesamente nello scritto: «Sur un Mémoire de D. Foncenex et sur les géométries non-euclidiennes.» [Torino, Memorie, (3), t. XXIX, 365-404, 1877], dopo aver rilevato l'insufficienza di certi ragionamenti intuitivi, diretti a provare l'esistenza concreta d'una superficie atta a rappresentare l'intero piano non-euclideo, insiste sulla probabile esistenza di punti singolari, [come, ad es., quelli situati sulla linea di regresso della fig. 47], in ogni modello concreto di superficie a curvatura costante negativa. Sul teorema di HILBERT aggiungiamo che il carattere analitico della superficie, ammesso dall'autore, fu dimostrato superfluo. Vedi in proposito la dissertazione di G. LÜTKEMEYER: «Uber den analytischen Charakter der Integrale von partiellen Differential-gleichungen.», [Göttingen 1902] e la nota di E. HOLMGREN: «Sur les surfaces à courbure constante negative.», Comptes Rendus, I° sem. 1902, p. 840-43.
  4. «Eine neue Eigensehaft der Kugel.», Gött. Nachricten, 1899, p. 44-54. — A p. 172-75 dei «Grundlagen der Geometrie.» di HILBERT è pure dimostrata questa proprietà. Notiamo che le superficie di curvatura costante positiva sono necessariamente analitiche. Vedi in proposito la citata dissertazione di LÜTKEMEYER, [ nota 140] e la memoria di HOLMGREN: «Über eine Klasse von partielle Differentialgleichungen der Zweiten Ordnung.», Math. Ann., t. LVII, p. 407-20 [1903].
  5. Cfr., ad es., il breve cenno sulla geometria degli spazi di curvatura costante positiva, con cui BELTRAMI chiude la sua memoria «Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante.» [Annali di Matem., (2), t. II, p. 354-5, 1868]. Questa memoria, che dovremo richiamare nel seguito, fu tradotta in francese da Hoüel nel t. VI, p. 347-77, degli Annales scien. de l'École Normale supérieure.