La geometria non-euclidea/Capitolo V/Fondamenti d'una geometria spaziale secondo le idee di Riemann

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Fondamenti d'una geometria spaziale secondo le idee di Riemann

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Fondamenti d'una geometria spaziale secondo le idee di Riemann
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[p. 141 modifica] FONDAMENTI D’UNA GEOMETRIA SPAZIALE SECONDO RIEMANN.


§ 77. Rivolgendoci ora allo spazio, partiamo dal fondamento filosofico che i postulati, sebbene ad essi si accordi per ipotesi un valore rigoroso, esprimono delle verità d'indole sperimentale, verificabili solo in una regione limitata e ammettiamo che, in base ai detti postulati, i punti dello spazio siano rappresentati da tre coordinate x1, x2, x3.

In tale rappresentazione [analitica] ad ogni linea verranno a corrispondere tre equazioni parametriche:


x1 = f1 (t), x2 = f2 (t), x3 = f3 (t),


ed allora potremo proporci di determinare una funzione s, del parametro t, che esprima la lunghezza d'un arco di curva.

Stante la proprietà distributiva, per la, quale la lunghezza d'un arco è uguale alla somma delle lunghezze delle parti in cui può immaginarsi diviso, una tale funzione sarà pienamente [p. 142 modifica]determinata quando si conosca la distanza elementare [ds] di due punti infinitamente vicini, di coordinate:


x1, x2, x3, x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3.


RIEMANN parte da ipotesi assai generali, che vengono soddisfatte, nel modo più semplice, assumendo come espressione del quadrato della distanza elementare [ds2] una forma quadratica, sempre positiva, nei differenziali delle variabili:


[vedi formula 142_a.png]


nella quale le aij sono funzioni di x1, x2, x3.

Ammettendo ora il principio della sovrapponibilità delle figure, si dimostra che le funzioni aij debbono essere di tale natura da permettere, in seguito ad un opportuno mutamento del sistema di coordinate, che il ds2 assuma la forma:


[vedi formula 142_b.png]


nella quale la costante K è ciò che RIEMANN, per estensione del concetto gaussiano, denomina convenzionalmente curvatura dello spazio.

A seconda poi che K è maggiore, uguale, minore di zero abbiamo lo spazio a curvatura costante positiva, lo spazio a curvatura nulla, lo spazio a curvatura costante negativa.

Facciamo un passo ulteriore ammettendo di estendere allo spazio completo il principio di sovrapponibilità [movimenti] e il postulato per cui la retta è determinata, senza eccezione, da due punti: si trovano allora tre forme spaziali, cioè tre geometrie logicamente possibili e conciliabili coi dati da cui siamo partiti.

La prima di tali geometrie, rispondente alla curvatura positiva, è caratterizzata dal fatto che in ogni piano vale il [p. 143 modifica]sistema di RIEMANN, per la qual cosa lo spazio a curvatura positiva sarà illimitato e finito in tutte le direzioni; la seconda, rispondente alla curvatura nulla, è l'ordinaria geometria d'Euclide; la terza infine, che risponde al valore negativo della curvatura, da luogo in ogni piano al sistema di Lobacefski-Bolyai.