La geometria non-euclidea/Capitolo V/L'opera di H. Helmoltz e le ricerche di S. Lie
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L'OPERA DI H. HELMHOLTZ E LE RICERCHE DI S. LIE.
§ 78. Anche HERMANN HELMHOLTZ [1821-1894], in alcuni suoi scritti d'indole matematica e filosofica1, ha trattato la questione relativa ai fondamenti della Geometria. Invece di assumere a priori la forma [vedi formula 143]
come espressione della distanza elementare, egli ha fatto vedere che questa espressione, nella forma datale da RIEMANN per gli spazi di curvatura costante, è la sola possibile, quando alle ipotesi di RIEMANN si aggiunga, fin da principio, quella riguardante la sovrapponibilità delle figure, in modo conforme al movimento dei corpi rigidi. Il problema di RIEMANN-HELMHOLTZ è stato sottoposto ad una profonda critica da S. LIE [1842-1899]. Il quale è partito dall'idea fondamentale, ravvisata da KLEIN nelle ricerche di HELMHOLTZ, che essere due figure congruenti significa potersi trasformare l'una nell'altra mediante una certa trasformazione puntuale dello spazio e che le proprietà per cui la congruenza assume l'aspetto logico di uguaglianza sono inerenti al fatto che i movimenti formano un gruppo di trasformazioni2.
Pertanto il problema di RIEMANN - HELMHOLTZ venne messo dal LIE sotto la forma seguente:
Determinare tutti i gruppi continui dello spazio che, entro una regione limitata, godono delle proprietà dei movimenti.
Postulate convenientemente tali proprietà, in relazione al concetto di libera mobilità degli elementi lineari e superficiali uscenti da un punto, si trovano tre tipi di gruppi, i quali caratterizzano le tre geometrie di Euclide, di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN3.
- ↑ «Ueber die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie.»; Heidelberg, Verhandl. d. natur.-med. Vereins, t. IV. p. 197-202 [1868]; t. V, p. 31-32 [1869]. - Wissenschaftliche Abhandlungen von H. HELMHOLTZ, t. II, p. 610-17 [Leipzig, 1883] — Fu tradotto in francese da J. Hoüel e pubblicato nei Mémoires de la Société des Sciences Phy. et Nat. de Bordeaux [t. V, 1868] ed anche insieme agli «Études geometriques» di Lobacefski ed alla Correspondance de Gauss et de Schumacher.» [Paris, Hermann, 1895]. «Ueber die Thatsaschen, die der Geometrie zu Grunde liegen.»; Götting. Nachr., t. XV 193-221 [1868] — Wissenschaftliche Abhandlungen von H. HELMHOLTZ, t. II, p. 618-39. «The Axioms of Geometry.»; The Academy, t. I p. 123-81 [1870]. — Revue des cours scientifiques, t. VII, p. 498-501 [1870]. «Ueber die Axiome der Geometrie»; Populäre wissenschaftliche Vortrage. 3. Heft. p. 21-54. [Braunschweig, 1876]. — Trad. Inglese : Mind, t. I, p. 301-21. — Trad. francese: Revue scient. de la France et de 1'Etranger, (2) t. XII, p. 1197-1207 [1877]. «Ueber den Ursprung und Sinn Bedentung der geometrischen Sätze.»; Wissenschaftliche Abhandlungen von H. HELMHOLTZ, t. II. p. 640-60. — Trad. inglese: Mind, t. II, p. 212-24 [1878].
- ↑ Cfr. KLEIN: «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen.», [Erlangen, 1782] — Trad. italiana di G. FANO. Annali di Matem., (2), t. XVII, p. 301-43 [1899].
- ↑ Cfr. LIE: «Theorie der Transformationsgruppen.», t. III, p. 437-543. [Leipzig, Teubner 1893]. — Nello stesso ordine di idee, H. POINCARÉ, nel suo scritto «Sur les hypothèses fondamentaux de la Géométrie.» [Bull. de la Société Math. de France, t. XV, p. 203-16, 1887], risolveva il problema di assegnare tutte le ipotesi che caratterizzano, fra i vari gruppi di trasformazioni, il gruppo fondamentale della geometria piana euclidea.