Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 83

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Capitolo 13 - Derivate delle funzioni di funzioni (Funzioni composte)

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Capitolo 13 - Derivate delle funzioni di funzioni (Funzioni composte)
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§ 83. — Derivate delle funzioni di funzioni.
(Funzioni composte).

)) Sia una funzione di due variabili , le quali sieno funzioni di una variabile . Quando varia in un certo intervallo , i lpunto varii nel campo ove è definita la , cosicchè la sia funzione della nell'intervallo .

Sieno finite e continue, e finite. Quando la riceve un incremento , siano i corrispondenti [p. 276 modifica]incrementi delle : e sia il corrispondente incremento della . Sarà per il teorema della media:

                              }}          .

Donde

.

Poichè per ipotesti e esistono e sono finite, è .

Ricordiamo che e sono finite e continue, se ne deduce che esiste, ed è dato dalla:

. (1)

Se si considera come variabile indipendente (§ 53, pag. 177), è:

Cosicchè per (1) come al precedente § 82.

Riconosciamo dunque anche in questo caso più generale (cfr. § 59, pag. 187) che il differenziale primo di una funzione è dato sempre dalla stessa formola, qualunque sia la variabile indipendente.

E si osservi che, se si scrivessero le derivare parziali coi latini, tale formola assumerebbe l'aspetto

      ()


che taluno potrebbe essere tentato di semplificare, ottenendo l'assunrdo . Le notazioni usate in ) possono perciò portare a gravi errori di calcolo. [p. 277 modifica]Si ha pure similmente, ricordando che , sono funzioni di , entrambe funzioni della , che:

,

se le derivate seconde di <math<z</math> sono finite e continue.

In tale ipotesi si deduce, derivando (1), che:

. (2)

) Analogamente, se è funzione delle variabili , tutte funzioni della , e sela stessa si può considerare come funzione della in un certo campo, sarà come ipotesi analoghe:

.

) Sia ora una funzione, p. es., di tre variabili ; e siano funzioni della . Posto , la diventa funzione di , tutte e tre funzioni della . Si ha quindi (poichè e quindi ):

.

Si noti anche qui quale differenza passa tra e . Per ottenere la prima, si deriva considerando e come costanti per ottenere la seconda, si derivi considerando e come funzioni di . Per esempio, se , è .

) Supponiamo funzione delle due variabili definite dalle:

                              ( costanti). [p. 278 modifica]Si trovino le derivate di rispetto alla variabile indipendente . Si ha:

;

;

e analoga per ;

.

Una regola mnemonica per ricordare queste formole è di porre

e sviluppando poi con le regole dell'algebra elementare, proprio come se fossero frazioni vere e proprie aventi per numeratore e per denominatore le quantità 1, con l'avvertenza che alla fine del calcolo i simboli , ecc., non si debbono più considerare come prodotti (ciò che non avrebbe senso), ma come uguali rispettivamente alle derivate , ecc. E con le medesime convenzioni si trova:

; ....., .


Esempio.

Sia               ,

cosicchè ; si trova:

,

come ci è già noto dal § 60, es. 3°, pag. 189.

Note

  1. In tale calcolo, e si debbono considerare ciascuno come un unico simbolo di una quantità, e non già come prodotto di per o per . Così, p. es., si scriverà e non .