Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 123

by Guido Fubini

Capitolo 19 - Piano osculatore ad una curva ghemba

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 19 - Piano osculatore ad una curva ghemba

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§ 123. — Piano osculatore ad una curva sghemba.

Sia data una curva $C$ definita dalle equazioni:

                              $x=x(t)$;   $y=y(t)$;   $z=z(t)$                                   (1)

i cui secondi membri abbiano derivate prime e seconde continue in un intorno di $t=t_{0}$.

Sia $A$ il punto di $C$ corrispondente al valore $t_{0}$ della $t$; e siano $B,D$ i punti corrispondenti ai valori $t_{0}+h,t_{0}+k$. I punti $A,B,D$ giacciono nel piano $\pi$ di equazione

                                                  $ax+by+cz+d=0$.                              (2)

I punti comuni a $C$ ed a $\pi$ soddisfano all'equazione $ax(t)+by(t)+cz(t)+d=0$, che si ottiene eliminando tra (1) e (2) le coordinate correnti $x,y,z$. Ciò avviene il particolare dei punti $A,B,D$; cosicchè la funzione della $t$

                               $F(t)=ax(t)+by(t)+cz(t)+d$                            (3)

sarà nulla per $t=t_{0},t=t_{0}+h,t=t_{0}+k$. per il teorema di Rolle nel più grande dei segmenti determinati da questi tre punti esistono almeno due punti $t,t_{2}$, ove $F'(t)$ è nulla, e quindi almeno un punto $t_{3}$, ove è nulla $F''(t)$. Sarà quindi in particolare [posto $x_{0}=x(t_{0})$; $y_{0}=y(t_{0})$, ecc.]

                               $ax_{0}$        $+by_{0}$         $+cz_{0}$       $+d=0$

                               $ax'(t_{1})+by'(t_{1})+cz'(t_{1})$       $=0$                          (4)

                               $ax''(t_{2})+by''(t_{2})+cz''(t_{2})$     $=0$.

Se le (4) individuano¹ i rapporti $a:b:c:d$ (cioè se nessuna delle (4) è combinazione lineare delle precedenti), i punti <mathZ A, B, D</math> non sono in linea retta; e il piano $ABD$ è determinato dalle stesse (4). Noi supporremo che così avvenga effettivamente. Si osservi ora che, quando $h$ e $k$ tendono a zero,

$\lim \,t_{1}=\lim \,t_{3}=t_{0}$.

Poichè le derivate prime e seconde delle $x,y,z$ sono finite e continue, sarà $\lim x'(t)=x'(t_{0})$; $\lim x''(t_{3})=x''(t_{0}$; ecc.

I rapporti $a:b:c:d$ definiti dalle (4) tenderanno al limite ai rapporti $a:b:c:d$ definiti dalle

                         $\left.{\begin{matrix}ax_{0}+by_{0}+cz_{0}&+d&=0\\ax'_{0}+by'_{0}+cz'_{0}&&=0\\{ax''}_{0}+{by''}_{0}+{cz''}_{0}&&=0\end{matrix}}\right\}$                              (5)

(dove si è posto $x'(t_{0})=x'_{0},{x''}_{0}(t_{0}={x''}_{0}$, ecc.), se nessuna delle (5) è combinazione delle precedenti, ossia se la matrice

                                   ${\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}&1\\x'_{0}&y'_{0}&z'_{0}&0\\{x''}_{0}&{y''}_{0}&{z''}_{0}&0\end{vmatrix}}$                                             (6)

è di caratteristica $3$. E, se questo avviene, anche l'ipotesi analoga fatta sopra le (4) è soddisfatta, se $h,k$ sono abbastanza piccole, perchè le $x',x''$, ecc. sono continue.

Il piano (2), i cui coefficienti $a,b,c,d$ soddisfano alle (5), si dirà il piano osculatore alla curva $C$ in $A$; ed è facile riconoscere che i coseni direttori della sua normale, e la distanza dall'origine sono i limiti delle quantità analoghe per il piano $ABD$; cosicchè tale piano osculatore si può dire il piano limite del piano che passa per $\mathrm {A}$ e per due punti vicini $\mathrm {B,D}$ della curva, quando $\mathrm {B,D}$ si avvicinano infinitamente ad $\mathrm {A}$.

Eliminando le $a,b,c,d$ tra le (2), (5), si ha:

(7) ${\begin{vmatrix}x&y&z&1\\x_{0}&y_{0}&z_{0}&1\\x'_{0}&y'_{0}&z'_{0}&0\\{x''}_{0}&{y''}_{0}&{z''}_{0}&0\end{vmatrix}}=0$ ossia ${\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\x'_{0}y'_{0}z'_{0}\\{x''}_{0}{y''}_{0}&{z''}_{0}\end{vmatrix}}=1$

come equazione del piano osculatore in $A$. Ed è facile riconoscere che, nella nostra ipotesi per la matrice (6), la (7) non può ridursi ad una identità.

Dalla (7) risulta evidente che detto piano osculatore contiene la retta uscente da $A=(x_{0},y_{0},z_{0})$ coi coseni direttori proporzionali ad $x'_{0},y'_{0},'_{0}$, cioè la retta tangente alla curva nel punto $A$.

Dimostriamo come esercizio, che il piano osculatore è il piano limire di un piano $\pi '$ che passa per $A$, per $B$, per la tangente in $A$, quando $B$ si avvicina indefinitamnte ad $A$. $ax+by+cz+d=0$ è l'equazione di $\pi '$, le $a,b,c,d$ devono soddisfare alle: $ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d=0,ax'_{0}+by'_{0}+cz'_{0}$ e $ax(t_{0}+h)+by(t_{0}+h)+cz(t_{0}+h)+d=0$. All'ultima equazione possiamo, in virtù delle prime due, sostituire la

$a{\frac {x(t_{0}+h)-hx_{0}-x_{0}}{h^{2}}}+b{\frac {y(t_{0}+h)-hy'_{0}-y_{0}}{h^{2}}}+c{\frac {z(t_{0}+h)-hz'_{0}-z_{0}}{h^{2}}}=0$

Passando al limite per $h=o$ e ricordando il risultato del § 63, pag. 199, questa equazione diventa $a{x''}_{0}+b{y''}_{0}+c{z''}_{0}=0$. Ritroviamo così precisamente le (5). Se adottassimo la proprietà qui enunciata per definire il piano osculatore, notiamo che non avremmo dovuto supporre continue le $\mathrm {x'',y'',z''}$, ma che sarebbe bastato supporre determinate e finite le derivate seconde nel punto $\mathrm {t=t_{0}}$.

Si dice piano normale in $A$ il piano

$x'_{0}(x-x_{0})+y'_{0}(y-y_{0})+z'_{0}(z-z_{0})=0$,

luogo delle normali della retta tangente in $A$innalzate dal punto $A$. La sua intersezione col piano osculatore dicesi normale principale.

La normale in $A$ al piano osculatore giace sul piano normale, e dicesi binormale.

La ragione di questo nome sta in ciò che, considerato il piano osculatore come il piano di tre punti $A,B,D$ infinitamente vicini, la binormale è normale alle due rette infinitamente vicine $AB,BD$; le quali congiungendo punti consecutivi, si debbono considerare entrambe tangenti alla curva $C$.

Note

1. Aggiungendo alla (4) la identità $0.a+0.b+0.c+0.d=0$ vi ha un sistema di $4$ equazioni omogenee dennel$4$ incognite $a,b,c,d$; il quale, se è di caratteristica $3$, determina, come si è visto al § 27, pag. 89, le $a,b,c,d$ a meno di un fattore comune, $\lambda$, o, ciò che è lo stesso, determina i rapporti $a:b:c:d$.