Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 47

by Guido Fubini

Capitolo 8 - Velocità ad un instante, velocità di reazione, intensità di corrente, coefficiente di dilatazione, calore specifico

../../Capitolo 8 ../Paragrafo 48 IncludiIntestazione 30 dicembre 2022 75% Da definire

Questo testo è completo.

Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 8 - Velocità ad un instante, velocità di reazione, intensità di corrente, coefficiente di dilatazione, calore specifico

◄

Capitolo 8

Capitolo 8 - Paragrafo 48

►

§ 47. — Velocità ad un istante, velocità di reazione, intensità
di corrente, coefficiente di dilatazione, calore specifico.

α) Studiamo un fenomeno dei più semplici: la caduta di un grave che parte senza velocità iniziale. L'esperienza insegna che il numero $y$ dei metri percorsi in $x$ minuti secondi di libera caduta vale ${\frac {1}{2}}gx^{2}=4,905x^{<}8g=9,81)$.

Da tale formola resta analiticamente individuata la funzione $y$ della $x$ così da poterne calcolare il valore per ogni valore positivo della $x$. E si trova che dopo

$3''$il grave ha percorso metri $3,1\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

$3,01\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

$3,001\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

$y=7,905\cdot (3)^{2}$ $y=4,905\cdot (3,1)^{2}$ $y=4,905\cdot (3,01)^{2}$ $y=4,905\cdot 3,001)^{2}$

$=44,145$ $=44,125+2,992$ $=44,145+0,295$ $=44,145+0,0294$

Ora è ben noto che la velocità media in un intervallo di tempo è data dal quoziente tra la lunghezza del segmento percorso in tale intervallo e il tempo impiegato a percorrerlo.

Siccome nell'intervallo $(3'';3'',1)$ si sono percorsi $2,992$, la velocità media in questo intervallo di tempo $({\frac {1}{10}}$ di minuto secondo) vale ${\frac {2,992}{\left({\frac {1}{100}}\right)}}=29,5$; la velocità media nell'intervallo $3'';3,001)$ sarà ${\frac {0,0294}{\left({\frac {1}{1000}}\right)}}=29,4$.

Noi potremo continuare il calcolo per intervalli di tempo ancor più piccoli; ciò che naturalmente non avrebbe alcun significato fisico, sia perchè $4,905$ è un numero solamente approssimato, sia perchè non sono sperimentalmente apprezzabili frazioni di secondo tanto piccole. Checchè sia di ciò, noi troveremmo che la velocità media in un intervallo di tempo che comincia dopo il terzo secondo, diminuisce con l'ampiezza dell'intervallo e finisce per intervalli di tempo inferiori p. es. al millesimo di secondo, con l'essere sensibilmente uguale a $29,4\dots$. Ma si suole parlare, tanto oin fisica che nel linguaggio comune, della velocità che ha il grave p. es. all'instante $x=3$ (dopo $3''$ di libera cadura); si suole dire anche volgarmente: il grave dopo $3''$ aveva la velocità di tanti metri al minuto secondo. È ben chiaro il significato che uno sperimentatore darebbe a una simile frase: velocità del grave all'istante $x=3''$. Supposto, per fissare le idee, che il millesimo di secondo sia il minimo intervallo di tempo, che egli sappia apprezzare e misurare coi mezzi sperimentali che ha a sua disposizione, egli chiamerebbe la velocità media del grave nell'intervallo ($3'';3'',001$) la velocità dell'istante $x=3$.

Così un macchinista di un treno, che difficilmente può apprezzare intervalli di tempo inferiori al minuto secondo, potrà dire che, p. es., alle ore $4$ egli aveva raggiunto la velocità di </math>100</math>km. all'ora (cioè m. ${\frac {100.000}{3600}}={\text{m}}.27,77$ al minuto secondo) se nell'intervallo di tempo trascorso dalle ore $4$ alle ore $4$ èiù un minuto secondo egli ha percorso m. $27,77z$. Questa definizione diremo così, sperimentale della frase: velocità all'istante x è sufficiente in pratica.

Dal punto di vista della teoria essa darebbe origini a gravi dificoltà, p. es., per il fatto che il minimo intervallo di tempo apprezzabile varia da caso a caso, può variare col perfezionarsi dei metodi di misura; mentre invece noi vogliamo una definizione che, per trascendendo i bisogni della pratica, sia adottabile in ogni caso. Riprendendo lo studio della caduta di un grave, notiamo che lo spazio $y$ percorso in $x$ secondi vale ${\frac {1}{2}}gx^{2}$, mentre lo spazio $y+k$ percorso nei primi $x+h$ secondi vale ${\frac {1}{2}}g(x+h)^{2}$. Lo spazio $k$ percorso nell'intervallo di tempo $x,x+h)$ vale dunque:

$k={\frac {1}{2}}g(x+h)^{2}-{\frac {1}{2}}gx^{2}=gxh+{\frac {1}{}}gh^{2}$.

Cosicchè la velocità media in tale intervallo di tempo è

${\frac {h}{k}}=gx+{\frac {1}{2}}gh$.

Quanto più perfetto è il metodo di misura, tanto più piccoli sono gli intervalli di tempo, che si sanno apprezzare.

Ora, quanto più piccolo è l'intervallo di tempo $(x,x+h)$ ossia quanto più piccolo è $h$, tanto più piccolo è il termine ${\frac {1}{2}}gh$. Anzi questo termine è sperimentalmente trascurabile se $h$ è molto piccolo. Per questa ragione diciamo che la velocità all'istante $x$ vale $gx$: cioè poniamo per definizione tale velocità uguale al

$\lim _{h=0}{\frac {k}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {{\frac {1}{2}}g(x+h)^{2}-{\frac {1}{2}}gx^{2}}{h}}=gx$.

Così p. es. la velocità all'istante $x=3$ vale $3g=3\cdot 9,81=29,4\cdots$ (che è in perfetto accordo coi valori sopra determinati).

Come si vede, questa velocità $gx$ varia con $x$, è una nuova funzione della $x$. E da questo risultato deduciamo anzi il ben noto teorema di Galileo che le velocità sono proporzionali al tempo $x$ di libera caduta.

β) Applichiamo le considerazioni precedenti al caso generale. Sia $M$ un punto mobile con legge qualsivoglia, p. es. su una retta orientata $OX$. Dopo un certo numero $x$ di minuti secondi la distanza $y=OM$ sia uguale a un certo numero $f(x)$ di metri ($y$ funzione di $x$). Quale significato avrà la frase: velocità $M$ all'istante $x=a$?

Usiamo un procedimento analogo al precedente.

Dopo $a$ secondi la distanza $OM$ è $f(a)$;

“

$a+h$

”

$f(a+h)$

Dunque nell'intervallo $(a,a+h)$ di $h$ minuti secondi lo spazio percorso è $k=f(a+h)-f(a)$. La velocità media in tale intervallo di tempo è quindi

${\frac {k}{h}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$.

Noi chiameremo velocità di $M$ all'istante $a$ il limite (se un tale limite esiste) del precedente rapporto per $h=0$. Questo limite varierà generalmente al variare dell'istante $a$ considerato. E per indicare che $a$ può ricevere uno qualsiasi dei valori dati alla $x$, noi indicheremo $a$ con la stessa lettera $x$, dicendo così che la velocità all0istante $x$ è quella funzione $F8x)$ della $x$, che è definita dalla

$F(x)=\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$,

se un tale limite esiste.

γ) Se noi immaginiamo noto a priori il significato della frase:“velocità all'istante x”, possiamo usare un'altra forma di ragionamento, che ci servirà anzi come modello per altri problemi analoghi.

Se la velocità $F(x)$ si mantenesse costante nell'intervallo $(x,x+h)$, lo spazio $f(x+h)-f(x)$ percorso in tale intervallo di tempo sarebbe proprio uguale al prodotto $hF8x)$ della velocità $F8x)$ per il tempo $h$ impiegato a percorrerlo. Ma $F(x)$ può variare (se, come capita in pratica, $F(x)$ è funzione continua) nel dato intervallo da n valore minimo $m$ ad un valore massimo $M$. Lo spazio percorso sarà quindi compreso tra $hm$ ed $hM$, che misurano rispettivamente gli spazi percorsi nel caso che la velocità abbia costantemente il valore minimo $m$ o il valore massimo $M$¹. Quindi $f(x+h)-f(x)=h\mu$ dove $\mu$ è un valore compreso tra $m$ ed $M$, ossia il valore $F(x+\lambda )$ che $F$ assume in un certo punto $x+\lambda$ (a noi generalmente ignoto) dell'intervallo $(x,x+h)(|\lambda |\leq |h|)$. Dalla $f(x+h)-f(x)=hF(x+\lambda )$ si trae:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=F(x+\lambda )$,

donde, passando al limite per $h=0$, e ricordando che $\lambda$ tende a zero per $h=0$, si ha appunto:

$F(x)=\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

δ) In generale, se $y$ è una grandezza variabile col tempo $x$, che è una funzione $y=f(x)$ di $x$, il limite precedente si chiama la velocit di variazione di $y$. Così, se $y$ è la qualità di una certa sostanza che si è formata o si è decomposta in una certa reazione chimica, tale limite ha il nome di velocità di reazione. Se $y$ è la quantità di elettricità passata in un dato circuito all'istante $x$, tale limite ha il nome di intensità di corrente. Se $x$ indica invece la tempertaura, ed $y$ è, p. es., la lnghezza di una certa sbarra alla temperatura $x$, tale limite si chiama il coefficiente di dilatazione (della sbarra).

Se $y$ è la quantità di calore necessaria per portare alla tempertaura $x$ la massa $1$ di un certo corpo, quel limite si chiama il calore specifico di quel corpo.

Insomma quasi tutte le scienze, che si propongono problemi di misura, conducono alla considerazione di quel limite per i problemi più svariati.

Note

1. Che a velocità maggiore corrisponda spazio percorso maggiore è un postulato direttamente suggerito dalla intuizione.