Opere Matematiche di Paolo Ruffini, Tomo Primo/Prefazione

by Paolo Ruffini

Ettore Bortolotti

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Paolo Ruffini - Opere Matematiche di Paolo Ruffini, Tomo Primo (1915)

Prefazione

Ettore Bortolotti

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Opere Matematiche di Paolo Ruffini, Tomo Primo

Teoria generale delle equazioni

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PREFAZIONE

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^[1]«La scoperta, per opera dei nostri matematici del cinquecento, della generale risoluzione algebrica delle equazioni del 3° grado, e la facilità e speditezza con cui i metodi proprî a tale risoluzione poterono adattarsi alle equazioni del 4° grado, fecero nascere la speranza di vedere presto risolte anche le equazioni dei gradi superiori.

Invece, per quasi tre secoli, gl’ingegni più eletti si affaticarono intorno a quel problema che, al dire del Montucla^[2], stretto d’ogni lato d’assedio, mentre cedeva ad una ad una le opere esterne, scuopriva sempre nuove e più formidabili difese.

Già per il quinto grado, infatti, si presentava tale moltiplicità di metodi e così fastidiosa complicazione di calcoli, che, se da un lato distoglieva la vista dalla mèta e disperdeva le forze contro ostacoli accessori, rinfrancava d’altro lato la speranza nella vittoria finale, coi parziali successi che contro quegli ostacoli si ottenevano, e coi reali progressi che ne venivano ad ogni ramo delle scienze matematiche.

Nella seconda metà del settecento, quando si cercò di mettere ordine in quei calcoli, di condurre quei metodi ad un unico principio e di indagare così la vera natura della risoluzione generale delle equazioni, si vide che essa era intimamente connessa con la ricerca uniforme e prestabilita di tutte le permutazioni fra le radici. Notevoli sono i risultamenti a cui giunsero, quasi contemporaneamente, il Waring^[3], il Vandermonde^[4], il Lagrange^[5]; ma a questi autori mancava un punto di vista generale, col quale una simile ricerca fosse salvata dal perdersi in innumerevoli particolarità^[6]. Le loro memorie perciò, piuttosto che segnare l’inizio di un nuovo periodo, segnarono la fine dell’antico, e, dopo di esse, il problema rimase stazionario per quasi trent’anni.

Un nuovo impulso fu dato dalle opere del matematico modenese Paolo Ruffini (1765-1822).

La sua «Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebrica delle equazioni generali di grado superiore al quarto» (Bologna, 1799), col far dipendere la risolubilità algebrica di una equazione dalla esistenza di determinati sottogruppi del gruppo cui essa appartiene, trova il vero principio per la dimostrazione rigorosa di una proposizione, della cui verità lo stesso Lagrange sempre fu in dubbio, e decide di una questione, tenuta per insolubile dai dotti di quel tempo^[7] e non risolubile allora con alcun altro mezzo^[8].

Con la applicazione poi, che egli fece per primo, della idea fondamentale di gruppo di operazioni, col distinguere, con l’enumerare e classificare i varî gruppi occorrenti alle sue ricerche, con lo scuoprimento delle idee di transitività e di primitività e delle relazioni fra la irreducibilità di una equazione e la transitività del suo gruppo, e fra la risolubilità mediante equazioni ausiliarie di grado inferiore e la imprimitività dello stesso gruppo^[9], egli ha posto le basi di quella teoria dei gruppi di sostituzioni, che doveva così profondamente rinnovare tutta l’analisi algebrica.

Tali idee peraltro, che nella mente di Ruffini certo erano chiare e precise, nelle sue opere sono adombrate con terminologia disusata, inceppate da considerazioni non necessarie, complicate da disadatto simbolismo, esposte in forma prolissa ed inelegante ed in veste tipografica disordinata e scorretta. Di troppo poi precorrevano il loro tempo, perchè i contemporanei potessero riconoscerne la esattezza ed apprezzarne la importanza^[10].

Il poco che troviamo scritto, dei giudizi che a quel tempo si facevano sulle opere di Ruffini, ci porterebbe a credere che egli avesse fama di ingegno originale e bizzarro, sottile costruttore di sofismi, contro i quali sarebbe stato pericoloso il combattere, ma che il buon senso consigliava di rifiutare^[11]. Ben lungi dall’arrendersi alle prove che egli aveva date, i geometri continuarono le ricerche per la risoluzione completa di equazioni algebriche generali di grado superiore al quarto^[12] e quella cieca incredulità, quella ostilità altezzosa, tanto più umiliante quanto più voleva sembrare cortese, esasperavano e sfiduciavano il Ruffini^[13], che, in luogo di continuare le sue ricerche generali sulla teoria dei gruppi e sulle equazioni abbassabili di grado^[14], parve non poter più abbandonare il teorema della impossibilità, e non aver pensiero che maggiormente lo preoccupasse, oltre quello di mettere la sua dimostrazione al riparo di ogni critica.

Questo travaglio durò, ben può dirsi, per gli ultimi venti anni di sua vita; ed è mirabile la tenacia nel riprendere, e semplicizzare, e sviscerare in ogni sua parte quel teorema, che dovrebbe pur chiamarsi suo. Egli vide e percorse entrambe le strade, che dopo di lui tennero Abel e Galois, giungendo così alla «più completa conoscenza della natura della impossibilità ed irresolubilità che s’era proposto di provare»^[15], e, dopo sei successive redazioni, lo espose in forma per quei tempi perfetta, e con semplicità non più superata^[16]. Ma nemmeno ciò potè smuovere il preconcetto, che non valesse la pena impiegare tempo e fatica nello studio di opere, le quali a priori dovevano riguardarsi come destituite di fondamento logico, e che si aggiravano sopra futilità di nessuna importanza scientifica^[17]. Anche Ruffini [come più tardi Abel^[18] e Galois] fu sfavorevolmente giudicato dagli scienziati dell’Accademia di Francia.

Il de Lalande, nell’edizione del 1802 del tomo III dell’Histoire des Mathématiques del Montucla^[19], non credette di dover tenere conto delle sue Opere. Il Delambre nel Rapporto famoso del 1808, vi accennò come a tentativi piuttosto infelici che fortunati^[20]. Quegli stessi Lacroix e Poisson, che più tardi dovevano respingere anche le idee di Galois^[21], ed il Legendre, ed il Carnot, senza azzardarsi a riprovarlo apertamente, per non essere costretti ad «entrer en lice avec un géomètre aussi savant et aussi exercé» fecero intendere che «...l’opinion la plus généralement répandue est que s’il est impossible d’avoir une solution complète des équations algébriques, il ne soit aussi bien difficile de démontrer clairement cette impossibilité que tout le monde croit sentir^[22]; che d’altronde ...«la maniera colla quale l’autore voleva trattare la questione da lui esposta, non poteva assolutamente servire a ciò che aveva voluto provare»^[23] ed infine «… les questions qui font l’objet de ses nouvelles recherches sont sans doute d’un moindre intérêt»^[24].

Il Lagrange, vecchio e presso la tomba, non seppe difenderlo contro l’opinione prevalente^[25], ed egli ebbe bel protestare presso le Accademie e gli scienziati, e chiedere un motivato giudizio; non potè mai ottenere nemmeno che si leggessero i suoi scritti^[26], perchè, gli scriveva il Segretario perpetuo Delambdre^[27], «vous connaissez assez le prix du temps pour concevoir aussi la répugnance qu’ont la plupart des géomètres pour s’occuper longtemps des travaux les uns des autres...»; e le sue opere erano voluminose e, per quei tempi, difficili.

Le opere di Galois ebbero diversa fortuna, perchè trovarono tempi più maturi (Cauchy aveva già volgarizzate le idee di Ruffini, ed Abel le aveva continuate); ebbero poi la ventura di essere raccolte e presentate dal Liouville, integrate dal Betti, ridotte a teoria dal Jordan, ed hanno il vantaggio di essere brevi, e di lasciare aperti molti varchi ad ulteriori estensioni.

Il Ruffini non ebbe nessuno dalla sua; i suoi stessi compatrioti gli furono contrari, perchè, in quei tempi di entusiasmi rivoluzionari, non poterono tollerare in lui, che pur fortemente sentiva il sentimento di italianità, il sostenitore della dominazione Estense ed il promotore della più insopportabile repressione, di quella del pensiero^[28]; ed egli, quanto più si sentiva osteggiato, tanto più si rinchiudeva nel suo intollerante ascetismo^[29].

L’unico forse, fra gli scienziati contemporanei, che interamente lo comprendesse, quegli che dallo studio profondo delle sue opere concepì così alta stima di lui, da proporlo membro dell’Accademia di Francia^[30], il Cauchy, non ebbe riguardi, nel presentare quelle idee, nel riprodurre quei risultamenti, nell’esporre quei metodi^[31], di far debitamente risultare le fonti cui aveva attinto^[32] ed a lui stesso furono attribuiti anche i meriti del Ruffini.

Non deve far meraviglia perciò che le opere di Ruffini sieno presto state dimenticate; è molto se in tre quarti di secolo si vede qualche volta citato il suo nome, a proposito del teorema della impossibilità, come quello di chi ne aveva, con poca fortuna, tentata la dimostrazione^[33]. Fa meraviglia invece che nemmeno oggi sieno debitamente apprezzate. È bensì vero che nella catena delle sue deduzioni c’è qualche lacuna. Ma, a parte il fatto che a’ suoi tempi lacune di quel genere non potevano essere avvertite, nonchè colmate^[34], se non si dovessero attribuire agli autori, altro che le scoperte che da essi furono portate a perfetto compimento, che cosa rimarrebbe, per es., a Galois della teorica che da lui prende il nome?

La rivendicazione del nome di Ruffini, nonostante il poderoso lavoro di Burkhardt, tarda ancora, perchè nessun autore potrebbe essere apprezzato prima di essere conosciuto, e pochi per certo sono quelli che conoscono le sue opere.

Queste opere, nelle quali, come dimostra il Burkhardt, «l’algebra anche in intere teorie, ha essenzialmente progredito», sparse nei volumi di dimenticate accademie, stampate senza nessuna cura tipografica, sono difficili di rintracciare, penose da leggere, e stancano la pazienza del più appassionato cultore.

Raccogliere quegli scritti in un unico corpo, rendendone facile e gradita la lettura con la uniformità e la chiarezza della veste tipografica, con la aggiunta di qualche nota, che, nei passi più importanti, ne aiuti la interpretazione secondo il linguaggio ora in uso per quella teoria, e che introduca le modificazioni e le aggiunte che lo stesso Ruffini ha lasciato nei suoi manoscritti, era opera di schietto patriottismo e di grande amore della scienza, da molto tempo aspettata.

A questa opera si è ora accinto il Circolo Matematico di Palermo, e per lui il suo benemerito fondatore G. B. Guccia, direttore di quei Rendiconti.

Questi, con slancio generoso, si è addossato tutte le spese, e si è incaricato della parte più delicata e faticosa: la cura della stampa; ha poi voluto che io mi occupassi di preparare il manoscritto, collazionando le antiche edizioni cogli autografi del Ruffini, ora conservati presso la R. Accademia di Scienze, Lettere ed Arti in Modena»^[35].

La deliberazione presa dalla Assemblea dei Soci residenti del Circolo Matematico di Palermo di ristampare le Opere Matematiche ed il Carteggio di Paolo Ruffini, comunicata alla Società Italiana pel progresso delle Scienze, nei termini qui sopra riportati, e largamente diffusa nelle pubblicazioni del Circolo, ha richiamato sopra Ruffini l’attenzione dei dotti. Già un distinto cultore della storia della Scienza, l’americano F. Cajori, si è reso fautore della rivendicazione al Ruffini anche della scoperta del cosidetto Metodo di Horner per il calcolo approssimato delle radici di una equazione numerica^[36]; e questo fatto, mentre è nuova prova dell’interesse della nostra pubblicazione, fa sperare che da essa potrà venire in luce tutto il merito dell’opera di Paolo Ruffini.

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In questo primo volume abbiamo riprodotto, dall’originale del 1799, la Teoria generale delle Equazioni, cui segue, come appendice, l’opuscolo inedito «Rischiarimenti e risposte alle obbiezioni» che il Ruffini compose prima del 1802, e lasciò (tutto di suo pugno), fra i suoi manoscritti.

Viene poi la Memoria «Delle Soluzioni delle equazioni algebraiche determinate particolari di grado superiore al quarto» stampata la prima volta nelle Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze, tomo IX (Modena, 1802) pp. 444-525.

L’importanza dell’Opuscolo Rischiarimenti e risposte alle Obbiezioni, risulta da ciò che quivi il Ruffini, non solo risponde alle obbiezioni dei suoi contemporanei; ma previene alcune critiche che furono fatte solo in tempi più recenti e completa la dimostrazione di teoremi che hanno capitale importanza nella teoria delle sostituzioni e che, trovati da lui, non risultavano sufficientemente provati da ciò che egli aveva esposto nel testo.

Per simili motivi hanno molto interesse anche le note poste a piè di pagina, le quali sono sempre dello stesso Autore, da lui pubblicate in opere posteriori o lasciate manoscritte fra le sue carte.

Di ciascuna di queste note e di ogni anche lieve modificazione al testo della prima edizione si è data ragione nelle Annotazioni poste in fondo al volume ed indicate con un numero di riferimento chiuso in parentesi quadra.

Ettore Bortolotti.

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Note

1. Estratto da una Comunicazione fatta al Congresso di Parma (1907) della Società Italiana pel progresso delle Scienze, nella seduta del 27 settembre 1907. Per quanto concerne la Deliberazione presa dall’Assemblea dei Soci residenti del Circolo Matematico di Palermo nell’adunanza straordinaria del 31 agosto 1907 intorno alla «pubblicazione delle Opere Matematiche di Paolo Ruffini e del suo Carteggio con gli scienziati del suo tempo», della quale Deliberazione fu data lettura in principio di detta Comunicazione, veggasi il «Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo», vol. II (1907), pag. 41. [Tomo XXIV (2° sem. 1907) dei Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Adunanza del 10 novembre 1907].
2. Histoire des Mathématiques, nouvelle édition, considérablement augmentée, et prolongée jusque vers l’époque actuelle, Tome III (achevé et publié par Jérome de Lalande) [Paris, chez Henri Agasse, an X (mai 1802)], pag. 18, linee 28-30. La frase cui qui si allude fu pubblicata tre anni dopo la dimostrazione della impossibilità data dal Ruffini.
3. Miscellanea Analytica (Cantabrigiae, 1762), lib. I, Cap. IV, pp. 34-65; Meditationes algebraicae (Cantabrigiae, 1770), Cap. III, pp. 78-124.
4. Mémoire sur la résolution des équations [Histoire de l’Académie des Sciences, année 1771 (Paris, 1774), pp. 47-49; Mémoires, etc., pp. 365-416].
5. Réflexions sur la résolution algébrique des équations [Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin pour les années 1770-71 (Berlin, 1772-73); Œuvres, t. III, pp. 205-421].
6. Heinrich Burkhardt: a) Die Anfänge der Gruppentheorie und Paolo Ruffini [Zeitschrift für Mathematik und Physik Jahrgang XXXVII (1892), Supplement, pp. 119-159]. p. 131; b) Paolo Ruffini e i primordii della teoria dei gruppi (Traduzione di Ernesto Pascal) [Annali di Matematica pura ed applicata, serie II, tomo XXII (1894), pp. 175-212], p. 186. D’ora innanzi, nel citare questo importante lavoro richiameremo soltanto le pagine della traduzione italiana.
7. Bortolotti, Carteggio di Paolo Ruffini con alcuni scienziati del suo tempo, relativo al teorema sulla insolubilità di equazioni algebriche, generali, di grado superiore al quarto [Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL), serie III, tomo XIV (1907), pp. 291-325], pp. 294, 298, 300.
8. Cfr. Burkhardt, loc. cit.^[6], b), pag. 186.
9. Cfr. Burkhardt, loc. cit.^[6], b), pp. 211-212.
10. Cfr. Influenza dell’opera matematica di Paolo Ruffini sullo svolgimento delle teorie algebriche. Discorso letto il 4 Novembre 1902 in occasione della solenne apertura degli studi nella R. Università di Modena dal prof. E. Bortolotti [Annuario della R. Università di Modena per l’anno accademico 1902-1903, pp. 23-77], pp. 44-53.
11. Cfr. Carteggio, etc., loc. cit.^[7], pp. 300, 302, 303, 306, 307, etc.
12. Notevoli i tentativi di Abel e di Galois per le equazioni del quinto grado {Abel, Œuvres complètes (Edizione di Sylow e Lie), tomo II, pag. 290; J. Tannery, Manuscrits et papiers inédits de Galois [Bulletin des Sciences Mathématiques, 2^e série, tome XXX (1906), 1^ère Partie, pp. 226-248, 255-263], pag. 248}, oltre quello di Wronski, cui rispose lo stesso Ruffini con la sua Memoria: Intorno al metodo generale proposto dal signor Hoëné Wronski onde risolvere le equazioni di tutti i gradi [Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL), serie I, tomo XVIII (1820), pp. 56-68].
13. Cfr. Carteggio, etc., 1. c.^[7], pp. 306-308 (nota a piè di pagina).
14. Nella Teoria generale delle equazioni, etc. del 1799, egli aveva tracciato lo schizzo di una teoria generale delle sostituzioni da cui si riprometteva di ricavare le condizioni per la risolubilità algebrica delle equazioni. Questa questione fu ripresa nel 1801 con la Memoria «Della soluzione delle equazioni algebraiche determinate particolari di grado superiore al quarto» [Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL), serie I, tomo IX (1802), pp. 444-526] (con la data 21 ottobre 1801), il cui scopo era così espresso dall’Autore: «Proposta una equazione particolare e di grado maggiore del quarto cercare il modo onde conoscere: 1° I casi in cui questa non è capace di abbassamento opportuno alla sua soluzione. 2° I casi nei quali può essa opportunamente abbassarsi. 3° Finalmente i metodi pratici per cui possiamo ottenere attualmente un simile abbassamento, e per cui possiamo in seguito dalle radici della equazione ridotta dedurre le radici della proposta».
15. Cfr. Burkhardt, 1. c.^[6], b), pp. 197-198.
16. ...«È appena necessario dire che questa redazione della dimostrazione coincide in tutti i punti essenziali con quella che nei libri si suole indicare come la modificazione di Wantzel della dimostrazione di Abel». [Burkhardt, 1. c.^[6], b), pag. 209].
17. Cfr. Influenza, etc., 1. c.^[10], pp. 53-61. Carteggio, etc., 1. c.^[7], pp. 306-307, note a piè di pagina; pag. 321.
18. La Memoria «Mémoire sur une propriété générale d’une classe très étendue de fonctions transcendantes» da Abel raccomandata al Cauchy (Op. di Abel, edizione Sylow e Lie, tomo II, pag. 260) e presentata alla Accademia il 30 ottobre 1826, non fu pubblicata che nel 1841, dopo la morte del disgraziato autore.
19. Cfr.^[2].
20. Carteggio, etc., 1. c.^[7], pag. 292, note a piè di pagina.
21. Cfr. J. Tannery, Manuscrits et papiers inédits de Galois, 1. c.^[12], pag. 231.
22. Cfr. Carteggio, etc., 1. c.^[7] (Lettera di Delambre, Segretario perpetuo dell’Accademia), pag. 300.
23. Cfr. Carteggio, etc., 1. c.^[7]) (Lettera di Gaultier Claubry che riporta il giudizio di Legendre), pag. 303.
24. Cfr. Carteggio, etc., 1. c.^[7]) (Rapporto di Carnot, Legendre, Poisson), pag. 321.
25. Cfr. Carteggio, etc., 1. c.^[7]), pp. 298-299 (nota), pag. 302.
26. Cfr. Carteggio, etc., 1. c.^[7]), pag. 292 (nota), dove si riporta un brano di una lettera di Paoli al Ruffini.
27. Cfr.^[22].
28. Cfr. Influenza, etc., 1. c.^[10], pp. 39-40.
29. Cfr. nel Carteggio, etc., 1. c.^[7], pag. 318, una singolare sua lettera al von Zach.
30. Cfr. Carteggio, etc., 1. c.^[7], pp. 314-316.
31. «...che cosa resta... della contribuzione data da Cauchy alla teoria dei gruppi, lui cui si «è soliti attribuire la più gran parte dei teoremi di cui abbiamo parlato?». [Burkhardt, 1. c.^[6], b), pag. 212].
32. «...Ma le poche parole colle quali Cauchy nella sua prima pubblicazione rammenta il suo predecessore sono così indeterminate che sono state intese in generale in una maniera che ha contribuito più ad oscurare che a mettere in luce i lavori di Ruffini; e Cauchy non ha mai smentito, con una acconcia spiegazione delle sue parole, un tale apprezzamento del suo predecessore». [Burkhardt, loc. cit.^[6], b), pag. 212].
33. Nessuno fra i più reputati libri di testo pubblicati fuori d’Italia sulla teoria dei gruppi, cita il Ruffini. Degli Autori di memorie fondamentali ricorderò Abel. In calce alla sua Memoria del 1824 (Œuvres, ed. di Sylow e Lie, tomo II, pag. 293) il Saigey aveva posto la nota seguente: «Dans un Mémoire sur l’insolubilité des équations algébriques générales d’un degré supérieur au quatrième (Société Italienne des Sciences, tome IX) et dans sa Théorie générale des équations (ibid) (sic), Ruffini, géomètre italien mort il y a quelques années, a démontré la proposition qui fait le sujet de cet article; un second mémoire du même auteur sur l’insolubilité des équations algébriques générales d’un degré supérieur au quatrième, soit algébriquement, soit d’une manière transcendante, se trouve dans les Mémoires de l’Inst. nat. italien, t. I, part. 2.… M. Cauchy a revu la démonstration de Ruffini et il en a fait un rapport favorable à l’Académie des Sciences, il y a quelques années. D’autres géomètres avouent n’avoir pas compris cette démonstration et il y en a qui ont fait la remarque très juste que Ruffini, en prouvant trop, pourrait n’avoir rien prouvé d’une manière satisfaisante».
    Questa nota prova che il Saigey parlava per sentito dire, senza mai aver avuto nemmeno fra mano le opere di Ruffini. Più esattamente il Sylow, nel 1881, aggiungeva (ibidem): «Le point faible du raisonnement de Ruffini, c’est qu’il suppose, sans démonstration, que les radicaux qui concourent à la résolution de l’équation s’expriment rationnellement par les racines. Ce défaut de son raisonnement, ou plutôt un défaut analogue, a contribué à produire le résultat faux dont parle Saigey». Abel stesso nella sua memoria del 1828 [Œuvres, 1. c.^[12]), t. II, pag. 218] parla di Ruffini in modo che fa ben capire non aver mai egli stesso conosciuto quell’Autore se non attraverso le opere di Cauchy. [Cfr. Influenza, etc., loc. cit.^[10], pp. 60-61]. La risoluzione trascendentale, come spiega il Burkhardt [loc. cit.,^[6], b), pp. 206-207] sarebbe quella che fa uso anche di funzioni logaritmiche e circolari, ed il Ruffini avrebbe inteso di provare che nemmeno questa è possibile. Le sue deduzioni sono allora esatte; ma il modo inesatto con cui si è espresso ha contribuito non poco a togliere credito alle sue opere. — Anche Galois cita Ruffini. [Cfr. J. Tannery, loc. cit.^[12]), pag. 242].
34. «...è un difetto del resto di cui non sono privi neanche i migliori matematici di quel «tempo, e che perciò non si può attribuire a lui personalmente…». [Burkhardt, loc. cit.^[6], b), pag. 210].
35. Ho avuto la fortuna di trovare le carte di Paolo Ruffini, presso il pronipote Avv. Luigi Ruffini segretario del R. Istituto di Belle Arti in Modena. Erano, chissà da quanto tempo, rinchiuse in una cassa, e, nonostante abbiano subito qualche manomissione, il loro disordine le ha in parte salvate, poichè gli autografi di valore non si potevano, senza un esame assai lungo, scovrire fra il monte di carte in cui erano sepolti. L’avvocato Ruffini ha donato tutti questi documenti all’Accademia di Modena, perchè i cultori di patrie memorie possano liberamente consultarli. Io li ho ordinati e disposti in parecchi cartoni, e mi propongo di compilarne il catalogo. Ho potuto ricostruire i manoscritti completi di quasi tutte le opere. Di tutte poi ho trovato molti abbozzi, tentativi, note, osservazioni, aggiunte, di pugno del Ruffini.
    Ho anche ricomposto ed ordinato un voluminoso carteggio.
36. Horner’s method of approximation anticipated by Ruffini; by Professor Florian Cajori [Bulletin of the American mathematical Society - 2^de Series, Vol. XVII, Nº 8, pp. 409-414 (May 1911)].
    P. Ruffini ed il così detto «Metodo di Horner» di Florian Cajori. Traduzione autorizzata di Gino Loria [Bollettino di bibliografia e storia delle Scienze Matematiche. Anno XIII (1911), pp. 81-86].