Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Del rapporto anarmonico

by Luigi Cremona

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Del rapporto anarmonico

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Sezione I.

PRINCIPII FONDAMENTALI

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Art. I.

Del rapporto anarmonico.

1. In una retta siano dati quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$; i punti $a,\,b$ determinano col punto $c$ due segmenti, il cui rapporto è ${\frac {ac}{cb}}$, e col punto $d$ due altri segmenti, il rapporto de’ quali è ${\frac {ad}{db}}$. Il quoziente dei due rapporti,

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}$

dicesi rapporto anarmonico¹ de’ quattro punti $a,b,c,d$ e si indica col simbolo $(abcd)$². Mutando l’ordine, nel quale i punti dati sono presi in considerazione, si hanno ventiquattro rapporti anarmonici, quante sono le permutazioni di quattro cose. Ma siccome:

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}={\frac {bd}{da}}:{\frac {bc}{ca}}={\frac {ca}{ad}}:{\frac {cb}{bd}}={\frac {db}{bc}}:{\frac {da}{ac}}$,

ossia:

$(abcd)=(badc)=(cdab)=(dcba)$,

così que’ ventiquattro rapporti anarmonici sono a quattro a quattro eguali fra loro. Ossia, fra essi, sei soli sono essenzialmente diversi: tali sono i seguenti:

1)	$(abcd),\,(acdb),\,(adbc)$, $\,(abdc),\,(acbd),\,(adcb)$.

Si ha poi:

$\left({\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}\right)\left({\frac {ad}{db}}:{\frac {ac}{cb}}\right)=1$,

ossia:

$(abcd)(abdc)=1$,

ed analogamente:

$(acdb)(acbd)=1$,

$(adbc)(adcb)=1$,

ossia i sei rapporti anarmonici 1) sono a due a due reciproci. Chiamati fondamentali i tre rapporti

$(abcd),\,(acdb),\,(adbc)$,

gli altri tre sono i valori reciproci de’ precedenti.

Fra quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$ in linea retta ha luogo, com’è noto, la relazione:

$bc.ad+ca.bd+ab.cd=0$,

dalla quale si ricava:

${\frac {ca}{bc}}.{\frac {bd}{ad}}+{\frac {ab}{bc}}.{\frac {cd}{ad}}=-1$

ossia:

$(abcd)+(acbd)=1$,

e così pure:

$(acdb)+(adcb)=1$,

$(adbc)+(abdc)=1$;

cioè i sei rapporti anarmonici 1), presi a due a due, danno una somma eguale all’unità (rapporti anarmonici complementari).

Dalle precedenti relazioni segue che, dato uno de’ sei rapporti anarmonici 1), gli altri cinque sono determinati. Infatti, posto $(acbd)=\lambda$, il rapporto reciproco è $(abdc)={\frac {1}{\lambda }}$. I rapporti complementari di questi due sono $(acbd)=1-\lambda$, $(adbc)={\frac {\lambda -1}{\lambda }}$. Ed i rapporti reciproci degli ultimi due sono $(acbd)={\frac {1}{1-\lambda }}$, $(adcb)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}$.

2. Congiungansi i dati punti $a,\,b,\,c,\,d$ ad un arbitrario punto $o$ situato fuori della retta $ab$ (fig. 1.ª), cioè formisi un fascio $o(a,b,c,d)$ di quattro rette che passino rispettivamente per $a,\,b,\,c,\,d$ e tutte concorrano nel centro $o$. I triangoli $aoc,\,cob$ danno:

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ao}{bo}}={\frac {\operatorname {sen} aoc}{\operatorname {sen} cob}}$.

Fig.ª 1ªFig.ª 1ª

Similmente dai triangoli $aod,dob$ si ricava:

${\frac {ad}{db}}:{\frac {ao}{bo}}={\frac {\operatorname {sen} aod}{\operatorname {sen} dob}}$,

epperò:

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}={\frac {\operatorname {sen} aoc}{\operatorname {sen} cob}}:{\frac {\operatorname {sen} aod}{\operatorname {sen} dob}}$;

ovvero, indicando con $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D}$ le quattro direzioni $o(a,b,c,d)$ e con $\mathrm {AC} ,\,\mathrm {CB} ,\dots$ gli angoli da esse compresi:

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}={\frac {\operatorname {sen} \mathrm {AC} }{\operatorname {sen} \mathrm {CB} }}:{\frac {\operatorname {sen} \mathrm {AD} }{\operatorname {sen} \mathrm {DB} }}$,

eguaglianza che scriveremo simbolicamente così:

$(abcd)=\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} )$.

All’espressione del secondo membro di quest’equazione si dà il nome di rapporto anarmonico delle quattro rette $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D}$. Dunque: il rapporto anarmonico di quattro rette $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D}$ concorrenti in un centro $\mathrm {o}$ è eguale al rapporto anarmonico de’ quattro punti $\mathrm {a} ,\,\mathrm {b} ,\,\mathrm {c} ,\,\mathrm {d}$ in cui esse sono incontrate da una trasversale. Per conseguenza, se le quattro rette $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D}$ sono segate da un’altra trasversale in $a',\,b',\,c',\,d'$, il rapporto anarmonico di questi nuovi punti sarà eguale a quello de’ primi $a,\,b,\,c,\,d$. E così pure se i punti $a,\,b,\,c,\,d$ vengono uniti ad un altro centro $o'$ mediante quattro rette $\mathrm {A} ',\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {C} ',\,\mathrm {D} '$, il rapporto anarmonico di queste sarà eguale a quello delle quattro $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D}$.

3. Dati quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$ in linea retta e tre altri punti $a',\,b',\,c'$ in un’altra retta, esiste in questa un solo e determinato punto $d'$, tale che sia:

$(a'b'c'd')=(abcd)$.

Ciò riesce evidente, osservando che il segmento $a'b'$ dev’esser diviso dal punto $d'$ in modo che si abbia:

${\frac {a'd'}{d'b'}}=\left({\frac {ad}{db}}:{\frac {ac}{cb}}\right).{\frac {a'c'}{c'b'}}$.

Donde segue che, se i punti $a\,a'$ coincidono (fig. 2.ª), le rette $bb',\,cc',\,dd'$ concorreranno in uno stesso punto $o$.Fig.ª 2.ªFig.ª 2.ª

Analogamente: dati due fasci di quattro rette $\mathrm {ABCD} ,\,\mathrm {A'B'C'D'}$, i centri de’quali siano $o,\,o'$ ed i rapporti anarmonici

$\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} ),\,\,\operatorname {sen}(\mathrm {A'B'C'D'} )$

siano eguali, se i raggi $\mathrm {AA'}$ coincidono in una retta unica (passante per $o$ e per $o'$), i tre punti $\mathrm {BB'} ,\,\mathrm {CC'} ,\,\mathrm {DD'}$, sono in linea retta.

Dati quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$ in una retta ed altri quattro punti $a',\,b',\,c',\,d'$ in una seconda retta (fig. 3.^a), se i rapporti anarmonici $(abcd),\,(a'b'c'd')$ sono eguali, anche i Fig.ª 3.ªFig.ª 3.ªdue fasci di quattro rette $a(a'b'c'd'),\,a'(abcd)$ avranno eguali rapporti anarmonici (2). Ma in questi due fasci i raggi corrispondenti $aa',\,a'a$ coincidono; dunque i tre punti $(ab',\,a'b)$, $(ac',\,a'c)$, $(ad',\,a'd)$ sono in linea retta. Questa proprietà offre una semplice regola per costruire il punto $d'$, quando siano dati $abcd,\,a'b'c'$.

Ed in modo somigliante si risolve l’analogo problema rispetto a due fasci di quattro rette.

4. Quattro punti $a,\,b,\,c,\,d$ in linea retta diconsi armonici quando sia:

$(abcd)=-1$,

epperò anche:

$(badc)=(cdab)=(dcba)=(abdc)=(bacd)=(cdba)=(dcab)=-1.$

I punti $a,\,b$ e così pure $c,\,d$ diconsi coniugati fra loro³.

Se il punto $d$ si allontana a distanza infinita, il rapporto ${\frac {ad}{db}}$ ha per limite $-1$; quindi dall’equazione $(abcd)=-1$ si ha ${\frac {ac}{cb}}=1$, ossia $c$ è il punto di mezzo del segmento $ab$.

La relazione armonica $(abcd)=-1$, ossia

${\frac {ac}{cb}}+{\frac {ad}{db}}=0$

mostra che uno de’ punti $c,\,d$, per esempio $c$, è situato fra $a$ e $b$, mentre l’altro punto $d$ è fuori del segmento finito $ab$. Laonde, se $a$ coincide con $b$, anche $c$ coincide con essi. E dalla stessa relazione segue che, se $a$ coincide con $c$, anche $d$ coincide con $a$.

La relazione armonica individua uno de’ quattro punti, quando sian dati gli altri tre. Ma se questi sono coincidenti, il quarto riesce indeterminato.

Analogamente: quattro rette $\mathrm {A,\,B,\,C,\,D}$, concorrenti in un punto, diconsi armoniche quando si abbia:

$\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} )=-1$,

cioè quando esse siano incontrate da una trasversale qualunque in quattro punti armonici.

5. Sia dato (fig. 4.^a) un quadrilatero completo, ossia il sistema di quattro rette Fig.ª 4.ªFig.ª 4.ª segantisi a due a due in sei punti $a,\,b,\,c$, $a',\,b',\,c'$. Le tre diagonali $aa',\,bb',\,cc'$ formano un triangolo $\alpha \beta \gamma$. Sia $x$ il punto coniugato armonico di $\beta$ rispetto a $c,\,c'$ e sia $y$ il coniugato armonico di $\gamma$ rispetto a $b,\,b'$. La retta coniugata armonica di $aa'$ rispetto alle $acb',\,ac'b$ ed anche la retta coniugata armonica di $a'a$ rispetto alle $a'bc,\,a'b'c'$ dovranno passare per $x$ e per $y$. Dunque questi punti coincidono insieme con $\alpha$, punto comune alle $bb',\,cc'.$ Donde segue che ciascuna diagonale è divisa armonicamente dalle altre due.

Di qui una semplice regola per costruire uno de’ quattro punti armonici $\alpha ,\,\gamma ,b,b'$, quando siano dati gli altri tre.

Una somigliante proprietà appartiene al quadrangolo completo (sistema di quattro punti situati a due a due in sei rette) e dà luogo alla costruzione di un fascio armonico di quattro rette.

6. Quattro punti $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,m_{4}$ in linea retta, riferiti ad un punto $o$ della retta medesima, siano rappresentati dall’equazione di quarto grado:

2)	$\mathrm {A} .{\overline {om}}^{4}+4\mathrm {B} .{\overline {om}}^{3}+6\mathrm {C} .{\overline {om}}^{2}+4\mathrm {D} .{\overline {om}}+\mathrm {E} =0$,

cioè siano $om_{1},\,om_{2},\,om_{3},\,om_{4}$ le radici dell’equazione medesima.

Se il rapporto anarmonico $(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})$ è eguale a $-1$, si avrà:

$m_{1}m_{3}.m_{4}m_{2}+m_{2}m_{3}.m_{4}m_{1}=0$,

ovvero, sostituendo ai segmenti $m_{1}m_{3},\dots$ le differenze $om_{3}-om_{1},\dots$ ed avendo riguardo alle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione:

$\mathrm {A} (om_{1}.om_{2}+om_{3}.om_{4})-2\mathrm {C} =0$.

Analogamente: le equazioni $(m_{1}m_{3}m_{4}m_{2})=-1,\,(m_{1}m_{4}m_{2}m_{3})=-1$ danno:

$\mathrm {A} (om_{1}.om_{3}+om_{4}.om_{2})-2\mathrm {C} =0$,

$\mathrm {A} (om_{1}.om_{4}+om_{2}.om_{3})-2\mathrm {C} =0$.

Moltiplicando fra loro queste tre equazioni si otterrà la condizione necessaria e sufficiente, affinchè uno de’ tre sistemi $(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})$, $(m_{1}m_{3}m_{4}m_{2})$, $(m_{1}m_{4}m_{2}m_{3})$ sia armonico. Il risultato è simmetrico rispetto ai segmenti $om_{1},\,om_{2},\,om_{3},\,om_{4}$, epperò si potrà esprimere coi soli coefficienti dell’equazione 2). Si ottiene così:

$\mathrm {ACE} +2\mathrm {BCD} -\mathrm {AD} ^{2}-\mathrm {EB} ^{2}-\mathrm {C} ^{3}=0$

come condizione perchè i punti rappresentati dalla data equazione 2), presi in alcuno degli ordini possibili, formino un sistema armonico⁴.

Note

1. Chasles, Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie (présenté à l’Académie de Bruxelles en janvier 1830). Bruxelles 1837, pag. 34.
2. Möbius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, pag. 244 e seg. — Witzschel, Grundlinien der neueren Geometrie, Leipzig 1858, pag. 21 e seg.
3. Il punto $b$ dicesi coniugato armonico di $a$ rispetto ai due $c,\,d$, ecc.
4. Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra, Dublin 1859, p. 100.