Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Proprietà delle seconde polari

by Luigi Cremona

Art. 21. Proprietà delle seconde polari

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 21. Proprietà delle seconde polari

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Art. XXI.

Proprietà delle seconde polari.

123. La prima polare di un punto $o$ rispetto alla prima polare di un altro punto $o'$, ossia, ciò che è la medesima cosa (69, c), la prima polare di $o'$ rispetto alla prima polare di $o$, si è da noi chiamata per brevità (116) seconda polare mista de’ punti $oo'$. Avuto riguardo a questa denominazione, la seconda polare del punto $o$, cioè la prima polare di $o$ rispetto alla prima polare di $o$ (69, b) può anche chiamarsi seconda polare pura del punto $o$.

Se la seconda polare mista de’ punti $oo'$ passa per un punto $a$, la retta polare di $o$ relativa alla conica polare di $a$ passa per $o'$ (69, d); dunque (108):

La seconda polare mista di due punti $oo'$ è il luogo di un punto rispetto alla conica polare del quale i punti $oo'$ siano poli coniugati.

Ond’è che, data una retta ${\rm {R}}$, se in essa assumonsi due punti $oo'$ i quali siano coniugati rispetto alla conica polare di un punto $a$, la seconda polare mista di $oo'$ passerà per $a$. Le coppie di punti in ${\rm {R}}$, coniugati rispetto alla conica suddetta, formano un’involuzione i cui punti doppi $ef$ sono le intersezioni della conica colla retta (108). I punti $ef$ sono pertanto i poli di due seconde polari pure passanti per $a$.

Di qui s’inferisce che, affinchè una seconda polare mista, i cui poli $oo'$ giacciano in ${\rm {R}}$, passi per $a$, è necessario e sufficiente che $oo'$ dividano armonicamente il segmento $ef$; vale a dire: se $oo'ef$ sono quattro punti armonici, la seconda polare mista di $oo'$ passa pei poli di tutte le coniche polari contenenti i punti $ef$. Ora, quando una conica polare passa per due punti $ef$, il suo polo giace sì nella seconda polare pura di $e$ che in quella di $f$ (69, a); gli $(n-2)^{2}$ punti comuni a queste due seconde polari sono poli d’altrettante coniche polari passanti per $ef$, epperò sono anche punti comuni a tutte le seconde polari miste che passano per $a$ ed hanno i poli in ${\rm {R}}$.

Dunque le seconde polari miste passanti per un punto dato e aventi i poli in una data retta formano un fascio d’ordine $n-2$.

Se una seconda polare mista i cui poli giacciano in ${\rm {R}}$ dee passare per due punti $ab$, essa è pienamente e in modo unico determinata. I punti di ${\rm {R}}$, coniugati a due a due rispetto alla conica polare di $a$, formano un’involuzione; ed una seconda involuzione nascerà dal punto $b$. I punti coniugati comuni alle due involuzioni (25, b) sono i poli della seconda polare mista richiesta.

Concludiamo adunque che le seconde polari pure e miste i cui poli giacciano in una data retta formano una rete geometrica dell’ordine $n-2$. Inoltre, le seconde polari pure dei punti della retta data formano una serie d’indice 2; cioè per un punto arbitrario $a$ passano due seconde polari pure i cui poli giacciono nella retta data (e nella conica polare di $a$). E il luogo de’ punti doppi delle seconde polari pure e miste de’ punti della retta data, cioè l’Hessiana della rete anzidetta, è una curva dell’ordine $3(n-3)$ (92).

124. Abbiamo or ora osservato che per due punti $ef$ della data retta ${\rm {R}}$ passano $(n-2)^{2}$ coniche polari, i poli delle quali sono le intersezioni delle seconde polari pure di $e,\,f$. Se questi due punti s’avvicinano indefinitamente sino a coincidere in uno solo $f$ avremo $(n-2)^{2}$ coniche polari tangenti in $f$ alla retta ${\rm {R}}$, e i loro poli saranno le intersezioni della seconda polare pura di $f$ con quella del punto infinitamente vicino in ${\rm {R}}$, vale a dire, saranno altrettanti punti di contatto della seconda polare pura di $f$ colla seconda polare della retta data (la curva inviluppo delle seconde polari pure de’ punti di ${\rm {R}}$, ossia il luogo de’ poli delle coniche polari tangenti ad ${\rm {R}}$ (104)).

Si è inoltre notato che, se $oo'ef$ sono quattro punti armonici (in ${\rm {R}}$), la seconda polare mista di $oo'$ passa per le $(n-2)^{2}$ intersezioni delle seconde polari pure di $e,\,f$. Ora, supposto che $ef$ coincidano in un sol punto $f$, anche uno degli altri due (sia $o'$) cadrà in $f$ (4); dunque la seconda polare mista di due punti $of$ in ${\rm {R}}$ passa per gli $(n-2)^{2}$ punti in cui la seconda polare pura di $f$ tocca la seconda polare di ${\rm {R}}$. Ossia:

La curva d’ordine $2(n-2)$, seconda polare di una retta ${\rm {R}}$, tocca in $(n-2)^{2}$ punti la seconda polare pura di un punto qualunque $o$ di ${\rm {R}}$. I $2(n-2)^{2}$ punti in cui la seconda polare di ${\rm {R}}$ è toccata dalle seconde polari pure di due punti $o,\,o'$ di ${\rm {R}}$, giacciono tutti in una stessa curva d’ordine $n-2$, che è la seconda polare mista de’ punti $oo'$.

(a) Di qui si può dedurre che la seconda polare di una retta ha, rispetto alle seconde polari pure e miste de’ punti di questa retta, tutte le proprietà e relazioni che una conica possiede rispetto alle rette che la toccano o la segano.

(b) Nè questo importante risultato è proprio ed esclusivo alle curve seconde polari, ma appartiene ad una rete qualsivoglia. Data una rete geometrica di curve d’ordine $m$, fra queste se ne assumano infinite formanti una serie d’indice 2; il loro inviluppo sarà una linea tangente a ciascuna curva inviluppata negli $m^{2}$ punti in cui questa sega l’inviluppata successiva. Ma per un punto arbitrario passano solamente due inviluppate: anzi queste coincidono, se il punto è preso nella linea-inviluppo. Donde segue che l’inviluppo non può incontrare un’inviluppata senza toccarla; e siccome queste due linee si toccano in $m^{2}$ punti, così l’inviluppo delle curve della serie proposta è una linea dell’ordine $2m$.

Tutte le curve di una rete, passanti per uno stesso punto, formano un fascio. Ora, i punti di contatto fra l’inviluppo ed un’inviluppata nascono dall’intersecarsi di questa coll’inviluppata successiva; dunque essi costituiranno la base d’un fascio di curve della rete. Ossia tutte le curve della rete, passanti per un punto ove l’inviluppo sia tangente ad una data inviluppata, passano anche per gli altri $m^{2}-1$ punti di contatto fra l’inviluppo e l’inviluppata medesima.

Per due punti in cui l’inviluppo sia toccato da due inviluppate differenti passa una sola curva della rete. Ond’è che una curva qualunque, la quale appartenga bensì alla rete ma non alla serie, intersecherà la linea-inviluppo in $2m^{2}$ punti, ove questa è toccata da due curve della serie.

(c) Ritornando alla seconda polare della retta ${\rm {R}}$, gli $(n-2)^{2}$ punti di contatto fra questa curva e la seconda polare pura di un punto $o$ di ${\rm {R}}$ compongono la base di un fascio di seconde polari miste, i cui poli sono $o$ ed un punto variabile in ${\rm {R}}$. Se due di quei punti di contatto coincidono in un solo, le curve del fascio avranno ivi la tangente comune, e per una di esse quel punto sarà doppio (47). Questo punto apparterrà dunque alla curva Hessiana della rete formata dalle seconde polari pure e miste dei punti di ${\rm {R}}$ (123). Ossia in ciascuna delle $6(n-2)(n-3)$ intersezioni di quest’Hessiana colla seconda polare di ${\rm {R}}$, quest’ultima curva ha un contatto quadripunto con una seconda polare pura (il cui polo è in ${\rm {R}}$), la quale tocca la medesima curva in altri $(n-2)^{2}-2$ punti distinti.

125. La seconda polare della retta ${\rm {R}}$ può anche essere considerata come il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti in due fasci progettivi. Siano $oo'$ due punti fissi, ed $i$ un punto variabile in ${\rm {R}}$. La seconda polare mista di $oi$ e la seconda polare mista di $o'i$ s’intersecano in $(n-2)^{2}$ punti che appartengono alla seconda polare di ${\rm {R}}$, perchè in essi ha luogo il contatto fra questa curva e la seconda polare pura di $i$ (124). Variando $i$ in ${\rm {R}}$, mentre $oo'$ rimangono fissi, quelle due seconde polari miste generano due fasci projettivi dell’ordine $n-2$; ed il luogo de’ punti comuni a due curve corrispondenti è appunto la seconda polare di ${\rm {R}}$.

Ai punti $oo'$ se ne possono evidentemente sostituire due altri qualunque presi in ${\rm {R}}$, perchè le $(n-2)^{2}$ intersezioni delle seconde polari miste di $oi$ e di $o'i$ altro non sono che i poli di ${\rm {R}}$ rispetto alla prima polare di $i$ (77). Donde si ricava quest’altra definizione (86):

La seconda polare di una retta è il luogo de’ poli di questa retta rispetto alla prima polare di un punto variabile nella retta medesima¹.

(a) Questa definizione conduce spontaneamente ad un’importante generalizzazione. Date due rette ${\rm {R,\,R'}}$, quale è il luogo dei poli dell’una rispetto alla prima polare di un punto variabile nell’altra? Fissati ad arbitrio due punti $oo'$ in ${\rm {R'}}$, e preso un punto qualunque $i$ in ${\rm {R}}$, le seconde polari miste de’ punti $oi$ ed $o'i$ si segano in $(n-2)^{2}$ punti, che sono i poli di ${\rm {R'}}$ rispetto alla prima polare di $i$. Variando $i$ in ${\rm {R}}$, quelle seconde polari miste generano due fasci projettivi dell’ordine $n-2$; ed il luogo de’ punti ove si segano due curve corrispondenti è una linea dell’ordine $2(n-2)$, la quale è evidentemente la richiesta. Ad essa può darsi il nome di seconda polare mista delle rette ${\rm {RR'}}$, per distinguerla dalla seconda polare pura di ${\rm {R}}$, superiormente definita.

(b) Come la seconda polare pura di ${\rm {R}}$ è il luogo di un punto la cui conica polare è toccata da ${\rm {R}}$, così la seconda polare mista di due rette ${\rm {RR'}}$ è il luogo di un punto rispetto alla conica polare del quale le rette ${\rm {RR'}}$ siano coniugate. Infatti: se la seconda polare mista di $oi$ e quella di $o'i$ passano per un punto $a$, la retta polare di $i$ rispetto alla conica polare di $a$ passa per $o$ e per $o'$ (123), cioè $i$ è il polo di ${\rm {R'}}$ rispetto a quella conica, c. d. d.

(c) Se nella precedente ricerca (a) si pone il punto $i$ all’intersezione delle rette ${\rm {RR'}}$, troviamo che la seconda polare mista delle rette medesime passa per gli $(n-2)^{2}$ punti comuni alla seconda polare mista de’ punti $oi$ ed alla seconda polare mista de’ punti $o'i$, ossia (124) per gli $(n-2)^{2}$ punti in cui la seconda polare pura del punto $i$ tocca la seconda polare pura della retta ${\rm {R'}}$. Dunque:

La seconda polare pura del punto comune a due rette tocca le seconde polari pure di queste, ciascuna in $(n-2)^{2}$ punti. I $2(n-2)^{2}$ punti di contatto giacciono tutti nella seconda polare mista delle rette medesime.

126. Se la seconda polare mista di due rette ${\rm {RR'}}$, concorrenti in un dato punto $i$, dee passare per un altro punto pur dato $o$, è necessario e sufficiente (125, b) che quelle due rette siano coniugate rispetto alla conica polare di $o$, cioè ch’esse formino un sistema armonico colle rette ${\rm {EF}}$ che da $i$ si possono condurre a toccare quella conica. Ossia, se le rette ${\rm {RR'EF}}$ formano un fascio armonico, la seconda polare mista di ${\rm {RR'}}$ passa pei poli di tutte le coniche polari tangenti alle rette ${\rm {EF}}$. Ora, se una conica polare tocca queste due rette, il polo giacerà nelle seconde polari pure d’entrambe (104, b; 124); dunque le $4(n-2)^{2}$ intersezioni di queste due curve sono poli d’altrettante coniche polari inscritte nell’angolo ${\rm {EF}}$, epperò sono punti comuni a tutte le seconde polari miste passanti per $o$ e relative a rette passanti per $i$. Ond’è che queste seconde polari miste formano un fascio.

Da ciò consegue che per due punti dati $oo'$ passa una sola seconda polare mista relativa a due rette (non date) concorrenti in un dato punto $i$. Vale a dire, le seconde polari pure e miste delle rette passanti per un dato punto formano una rete geometrica di curve dell’ordine $2(n-2)$.

Di qual indice è la serie delle seconde polari pure di tutte le rette passanti pel dato punto $i$? Cerchiamo quante di tali seconde polari passino per un punto arbitrario $o$. L’inviluppo delle rette le cui seconde polari (pure) passano per $o$ è la conica polare di questo medesimo punto (104, g); ad essa arrivano due tangenti da $i$; dunque per $i$ passano due sole rette le cui seconde polari (pure) contengano il punto $o$. Ossia le seconde polari pure delle rette passanti per un punto dato formano una serie d’indice $2$.

127. Sia $p$ un punto comune alla seconda polare pura di ${\rm {R}}$ ed all’Hessiana (della curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$). Come appartenente alla prima di queste curve, $p$ sarà il polo di una conica polare tangente ad ${\rm {R}}$; e come appartenente all’Hessiana, lo stesso punto avrà per conica polare un pajo di rette incrociantisi nel punto corrispondente $o$ della Steineriana. Ond’è che i punti comuni all’Hessiana ed alla seconda polare di ${\rm {R}}$ saranno tanti, quante sono le intersezioni di ${\rm {R}}$ colla Steineriana, cioè $3(n-2)^{2}$. Dunque:

La seconda polare pura di una retta qualunque tocca l’Hessiana dovunque l’incontra, cioè in $3(n-2)^{2}$ punti.

Siccome la conica polare di $p$ è formata da due rette concorrenti in $o$, così la retta ${\rm {R}}$, che passa per $o$, ha, rispetto a quella conica, infiniti poli situati in un’altra retta pur concorrente in $o$ (110, a). Laonde una retta ${\rm {R'}}$ condotta ad arbitrio (non per $o$) contiene un polo di ${\rm {R}}$ relativo alla conica polare di $p$; ossia (125, b) $p$ è un punto della seconda polare mista delle rette ${\rm {RR'}}$. Dunque:

I $6(n-2)^{2}$ punti in cui l’Hessiana è toccata dalle seconde polari pure di due rette date giacciono tutti nella seconda polare mista delle rette medesime².

Le seconde polari pure delle rette passanti per un dato punto $i$ formano (126) una serie d’ordine $2(n-2)$ e d’indice $2$; epperò sono inviluppate (124, b) da una linea dell’ordine $4(n-2)$. Questa linea è composta dell’Hessiana e della seconda polare pura del punto $i$ (125, c); e gli $8(n-2)^{2}$ punti, in cui le seconde polari pure di due fra quelle rette toccano l’Hessiana e la seconda polare pura di $i$, giacciono tutti nella seconda polare mista delle medesime due rette.

(a) Si è dimostrato che la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ tocca l’Hessiana in $p$; inoltre anche la seconda polare (pura) di $o$ passa per $p$, giacchè questo punto è doppio per la prima polare di $o$. D’altra parte la seconda polare (pura) di $o$ e la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ (retta passante per $o$) si toccano ovunque s’incontrano (124); dunque:

L’Hessiana, in un suo punto qualunque, è tangente alla seconda polare (pura) del corrispondente punto della Steineriana.

(b) Da ciò segue che la tangente in $p$ all’Hessiana è la coniugata armonica di $po$ rispetto alle due rette che toccano la prima polare di $o$ nel punto doppio $p$ (74, c); e se la prima polare di $o$ ha una cuspide in $p$, la tangente cuspidale tocca ivi anche l’Hessiana.

Analogamente, la tangente in $o$ alla Steineriana è la coniugata armonica di $op$ rispetto alle due rette che formano la conica polare di $p$.

(c) Se si considera una seconda retta ${\rm {R'}}$ passante per $o$, la seconda polare pura di ${\rm {R'}}$ toccherà anch’essa l’Hessiana in $p$. Viceversa: le rette le cui seconde polari pure passano per $p$ sono le tangenti della conica polare di $p$ (104, g); ma questa conica si risolve in due rette passanti per $o$; dunque le rette, le cui seconde polari pure contengono il punto $p$, passano tutte per $o$.

Ossia, l’Hessiana è toccata in $p$ dalla seconda polare pura di $o$ e dalle seconde polari pure e miste di tutte le rette passanti per $o$.

(d) Siccome i contatti dell’Hessiana colla seconda polare (pura) di una retta ${\rm {R}}$ corrispondono alle intersezioni di ${\rm {R}}$ colla Steineriana, così, se ${\rm {R}}$ tocca questa curva in un punto $o$, la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ avrà un contatto quadripunto coll’Hessiana nel corrispondente punto $p$, e la toccherà semplicemente in $3(n-2)^{2}-2$ altri punti.

Le rette tangenti alla conica polare d’un punto $i$ sono le sole (104, g), a cui spettino seconde polari pure passanti per $i$. Ma quella conica ha $6(n-1)(n-2)$ tangenti comuni colla Steineriana; dunque la serie formata dalle seconde polari pure (di rette) aventi un contatto quadripunto coll’Hessiana è dell’indice $6(n-1)(n-2)$.

Se ${\rm {R}}$ è una tangente doppia della Steineriana, la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ avrà coll’Hessiana due contatti quadripunti e $3(n-2)^{2}-4$ contatti bipunti.

E se ${\rm {R}}$ è una tangente stazionaria della Steineriana, la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ avrà coll’Hessiana un contatto sipunto, oltre a $3(n-2)^{2}-3$ contatti bipunti.

128. Quali sono le rette le cui seconde polari (pure) hanno un punto doppio? Siccome la seconda polare (pura) di una retta ${\rm {R}}$ è il luogo dei poli delle coniche polari tangenti ad ${\rm {R}}$, così se quella seconda polare ha un punto doppio, è necessario che vi sia una conica polare avente più di due punti comuni con ${\rm {R}}$, cioè una conica polare che si risolva in due rette, una delle quali sia ${\rm {R}}$.³ Dunque:

Le rette cui spettano seconde polari (pure) dotate di punto doppio sono quelle che a due a due costituiscono le coniche polari dei punti dell’Hessiana. E i punti doppi delle seconde polari (pure) di quelle rette sono gli stessi punti dell’Hessiana.

La seconda polare (pura) di un punto qualunque $i$ sega l’Hessiana in $3(n-2)^{2}$ punti, poli di altrettante coniche polari passanti per $i$, ciascuna delle quali è il sistema di due rette. Dunque:

Le rette che costituiscono le coniche polari dei punti dell’Hessiana inviluppano una curva della classe $3(n-2)^{2}$.

129. La seconda polare mista di due rette ${\rm {RR'}}$ è il luogo di un punto, alla conica polare del quale condotte le tangenti dal punto ${\rm {RR'}}$, queste tangenti formino colle rette date un fascio armonico. Tali coniche polari costituiscono una serie d’indice $2(n-2)^{2}$, tanti essendo i punti in cui quella seconda polare mista è intersecata dalla seconda polare (pura) di un punto arbitrario; dunque fra quelle coniche ve ne sono $4(n-2)^{2}$ tangenti ad una retta qualsivoglia data (85).

Ora sia data una conica qualunque ${\rm {C}}$, e si domandi il luogo di un punto la cui conica polare sia inscritta in un triangolo coniugato a ${\rm {C}}$. Sia $a$ un punto arbitrario ed ${\rm {A}}$ la retta polare di $a$ rispetto a ${\rm {C}}$. Vi sono $4(n-2)^{2}$ coniche polari tangenti ad ${\rm {A}}$ e a due rette concorrenti in $a$ e coniugate rispetto a ${\rm {C}}$, ossia $4(n-2)^{2}$ coniche polari inscritte in triangoli coniugati a ${\rm {C}}$, un lato dei quali sia in ${\rm {A}}$. Ma le coniche polari tangenti ad ${\rm {A}}$ hanno i loro poli nella seconda polare pura di ${\rm {A}}$; dunque il luogo richiesto ha $4(n-2)^{2}$ punti comuni colla seconda polare pura di una retta arbitraria, vale a dire, è una curva dell’ordine $2(n-2)$.

Quando un triangolo coniugato alla conica ${\rm {C}}$ abbia un vertice $o$ sulla curva, due lati coincidono nella tangente ed il terzo è una retta arbitraria passante per $o$. Dunque, se il punto $o$ appartiene anche alla Steineriana, cioè se $o$ è il punto doppio della conica polare d’un punto $p$ dell’Hessiana, questa conica può risguardarsi come inscritta in quel triangolo. Per conseguenza:

Il luogo di un punto, la conica polare del quale sia inscritta in un triangolo coniugato ad una conica qualsivoglia data, è una linea dell’ordine $2(n-2)$, che sega l’Hessiana ne’ punti corrispondenti alle intersezioni della Steineriana colla conica data.

Questa linea d’ordine $2(n-2)$, quando la conica data degeneri in un pajo di rette, non è altro che la seconda polare mista delle rette medesime.

Così ad una conica qualunque corrisponde una determinata curva d’ordine $2(n-2)$. E pel teorema (111, f) è evidente che a più coniche circoscritte ad uno stesso quadrangolo corrispondono altrettante curve d’ordine $2(n-2)$ formanti un fascio.

Note

1. Salmon, Higher plane curves, p. 152.
2. {Ne segue che le seconde polari miste relative ad una retta fissa ${\rm {R}}$ [e ad una retta variabile] passano per $3(n-2)^{2}$ punti fissi della Hessiana. Esse formano una rete: in fatti, se la seconda polare mista deve passare per due punti $o,\,o'$, essa apparterrà (oltre ad ${\rm {R}}$) a quella retta ${\rm {R'}}$ che congiunge i poli di ${\rm {R}}$ relativi alle coniche polari di $o,\,o'$.}
3. Quest’argomentazione non regge, e il risultato a cui si giunge va corretto. Si osservi che, quando una curva si può riguardare come l’inviluppo di una serie $\infty ^{1}$ d’indice 2 di curve, i suoi punti doppi sono (soltanto): 1.º ogni punto che sia comune a tutte le curve di quella serie, 2.º ogni punto dell’inviluppo che sia doppio per l’unica curva della serie che vi passa. Applicando ciò alla serie delle seconde polari dei punti di una retta ${\rm {R}}$, otteniamo (se $n>3$) due casi in cui la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ ha un punto doppio $p$: 1.º) $p$ è comune a tutte le seconde polari dei punti di ${\rm {R}}$, ossia ${\rm {R}}$ fa parte della conica polare di $p$: è il solo caso che sia considerato nel testo. 2.º) (per $n>3$) $p$ è punto doppio per la seconda polare di un punto $o$ (anzi che per una prima polare, come nel 1.º caso), ossia (n. 78) $p$ è un punto la cui cubica polare (anzi che conica polare) ha un punto doppio $o$. Presa allora come retta ${\rm {R}}$ la tangente in $o$ alla conica polare di $p$, la seconda polare (pura) di ${\rm {R}}$ avrà in $p$ un punto doppio. Così anche nel 2.º caso si ottengono, come nel 1.º, infinite rette ${\rm {R}}$ e infiniti punti $p$.